From 0600e46ce2236f1454d27ffb6b4b87e12fdd9a7a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Bazsalanszky Date: Fri, 12 Jun 2020 12:29:04 +0200 Subject: [PATCH] Added proofs for the next section --- bsz2.org | 125 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----------- 1 file changed, 101 insertions(+), 24 deletions(-) diff --git a/bsz2.org b/bsz2.org index a20e160..f055d45 100644 --- a/bsz2.org +++ b/bsz2.org @@ -77,10 +77,10 @@ ki(Ez pedig $\begin{pmatrix}n-\\k\end{pmatrix}$,mivel a maradék $n-1\text{-ből darabot). Ez pontosan az amit be akartunk látni. *** Binomiális tétel - \begin{align} +\begin{align} (a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}a^i\cdot b^{n-i}\cdot \begin{pmatrix}n \\ i \end{pmatrix} - \end{align} +\end{align} **** Bizonyítás \begin{align} (a+b)^n&=(a+b)\cdot(a+b)\cdot\ldots\cdot(a+b) @@ -599,59 +599,136 @@ sok csúcsú komponenseinek száma legfeljebb $k$. *** TODO Bizonyítás - * Párosítások $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$ -** Definíció -Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$ -ben. Ekkor -egy $G$ -beli $P$ út javítóút $M$ -re nézve, ha rá az alábbiak teljesülnek: +** Párosítások páros gráfokban +Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G\text{-ben}$. Ekkor +egy $G\text{-beli}$ $P$ út javítóút $M\text{-re}$ nézve, ha rá az alábbiak teljesülnek: -(1) $P$ egy $M$ által nem fedett $A$ -beli csúcsból indul; +(1) $P$ egy $M$ által nem fedett $A\text{-beli}$ csúcsból indul; -(2) $P$ egy $M$ által nem fedett $B$ -beli csúcsban ér véget; +(2) $P$ egy $M$ által nem fedett $B\text{-beli}$ csúcsban ér véget; (3) $P$ -nek minden páros sorszámú éle (tehát a második, negyedik stb.) $M$ -beli. -** Definíció\label{def1} -Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$ -ben. A -$G$ -beli $P$ utat alternáló útnak hívjuk, ha rá a \ref{def1}. Definíció (1) és +** Alteráló út +Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G\text{-ben}$. A +$G$ -beli $P$ utat alternáló útnak hívjuk, ha rá a [[*Párosítások páros gráfokban]]. Definíció (1) és (3) követelményei teljesülnek (de a (2) nem feltétlenül). Más szóval: alternáló útnak az olyan utakat nevezzük, amelyek párosítás által nem fedett $A$ -beli csúcsból indulnak és minden második élük $M$ -beli. -** Lemma -Tegyük fel, hogy a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút $G$ -ben. Vezessük be az alábbi jelöléseket: -(1) jelölje $A_1$ , illetve $B_1$ az $M$ által nem fedett $A$, illetve $B$ -beli csúcsok halmazát; +** Lemma +:PROPERTIES: +:CUSTOM_ID: lemma1 +:END: +Tegyük fel, hogy a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs +javítóút $G$ -ben. Vezessük be az alábbi jelöléseket: -(2) jelölje $A_2$ azoknak az ($M$ által fedett) $A$ -beli csúcsoknak a halmazát, amelyekbe vezet alternáló út; - -(3) jelölje $A_3$ a maradék $A$ -beli csúcsoknak a halmazát (amelyek tehát $M$ által -lefedettek, de nem vezet hozzájuk alternáló út). - -(4) Jelölje $B_2$ , illetve $B_3$ az $A_2$, illetve $A_3$ csúcsainak $M$ szerinti párjaiból álló $B$ -beli csúcsok halmazait. + 1. Jelölje $A_1$ , illetve $B_1$ az $M$ által nem fedett $A$, illetve + $B\text{-beli}$ csúcsok halmazát; + 2. Jelölje $A_2$ azoknak az ($M$ által fedett) $A$ -beli csúcsoknak a + halmazát, amelyekbe vezet alternáló út; + 3. Jelölje $A_3$ a maradék $A\text{-beli}$ csúcsoknak a halmazát (amelyek tehát $M$ + által lefedettek, de nem vezet hozzájuk alternáló út). + 4. Jelölje $B_2$ , illetve $B_3$ az $A_2$, illetve $A_3$ csúcsainak $M$ + szerinti párjaiból álló $B\text{-beli}$ csúcsok halmazait. Ekkor $G$ -nek nincs olyan éle, amely $A_1 \cup A_2$ és $B_1 \cup B_3$ között vezet. +*** Bizonyítás +Indirekt módon feltesszük, hogy mégiscsak létezik olyan ${a,b}$ él,hogy $a\in +A_1\cup A_2$ és $b\in B_1\cup B_3$. Ez összesen négy esetet jelent. + +Ha $a\in A_1$ és $b\in B_1$, az azt jelentené,hogy létezne egy javítóút +$a\text{-ból}$ $b\text{-be}$, ez viszont ellentmondás. + +Ha $a\in A_1$ és $b\in B_3$, ekkor $a\text{-ból}$ eljuthatnánk $b\text{-be}$, +ahonnan a $b\text{-re}$ illeszkedő $M\text{-beli}$ élen át egy $A_3\text{-beli}$ +csúcsba jutnánk egy kétélű alteráló úton. Ez lehetetlen, hiszen $A_3\text{-be}$ +nem vezethet alteráló út. + +Ha $a\in A_2$ és $b\in B_1$, ekkor $a$ pontba vezet egy $P$ alteráló +út. $b\text{-el}$ kiegészítve a $P$ utat,egy javító utat kapnánk,ami +ellentmondás. + +Ha $A_in A_2$ és $b\in B_3$, akkor létezik egy $P$ alteráló út $a\text{-ba}$. Ha +ezt kiegészítjük az ${a,b}$ éllel és a $b\text{-re}$ illeszkedő $M\text{-beli}$ +éllel, akkor a $P\text{-nél}$ kettővel hosszabb $P'$ alteráló utat kapunk. Ez +ellentmondás,hiszen $A_3\text{-be}$ nem vezethet alteráló út. ** Tétel Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút, akkor $M$ maximális párosítás $G$ -ben. +*** Bizonyítás +:PROPERTIES: +:CUSTOM_ID: t_biz1 +:END: +Jelölje $M$ élszámát $|M|=k$. Megmutatjuk hogy $G\text{-ben}$ létezik $k$ pontú +lefogó ponthalmaz,mert ebből következni fog, hogy $M$ maximális. Mivel létezik +$k$ elemű párosítás,így $\nu(G)\geq k$. A $k$ pontú lefogó halmaz létezéséből +$\tau(G)\leq k$. A kettőt összerakva: $\k\leq\nu(G)\leq\tau(G)\leq k \Rightarrow +\nu(G)=k$,így $M$ tényleg maximális párosítás. + +Azt állítjuk hogy a [[id:lemma1]] jelölései szerint $X=A_3\cup B_2$ lefogó +ponthalmaz $G\text{-ben}$. Legyen $e={a,b}$ egy tetszőleges él,ahol $a\in A$ és +$b\in B$. Ha $a\in A_3$,akkor $e$ egyik végpontja $X\text{beli}$, ha viszont +$a\in A_2\cup A_3$,akkor a [[id:lemma1]] lemma szerint $b\in B_2$,így $X$ ebben az +esetben is lefogja $e\text{-t}$ + +Most megmutatjuk,hogy $|X|=k$. Mivel $|M|=k$ és $X$ minden $M\text{-beli}$ él egy végpontját +tartalmazza, így $|X|=k$. ( $A_2$ és $B_2$ között futóknak az +$A\text{-beli}$ végpontját, az $A_3$ és $B_3$ között futóknak a $B\text{-beli}$ +végpontját.) *** Következmény (Kőnig tétele) Minden $G$ páros gráfra $\nu(G) = \tau(G)$ teljesül. +*** Kőnig tétel bizonyítása +Az [[id:t_biz1][előző bizonyításban]] már láttuk,hogy $\k\leq\nu(G)\leq\tau(G)\leq k$, ebből +valóban következik az állítás. *** Következmény -Ha a $G$ páros gráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor rá $\alpha(G) = \rho(G)$ teljesül. +Ha a $G$ páros gráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor rá $\alpha(G) = \rho(G)$ +teljesül. +*** Következmény bizonyítása +[[*Következmény (Kőnig tétele)][Kőnig tételéből]] tudjuk,hogy $\nu(G)=\tau(G)$,valamint [[*Gallai tétele][Gallai tételőből]] +tudjuk,hogy $\alpha(G)+\tau(G)=n$ és $\nu(G)+\rho(G)=n$ igazak. Ezekből tehát +$\alpha(G)=n-\tau(G)=n-\nu(G)=\rho(G)$ valóban következik. ** Definíció Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $X\subseteq A$ egy tetszőleges részhalmaza $A$ -nak. Ekkor az $X$ szomszédságának nevezzük és $N(X)$ -szel jelöljük a $B$ -nek azt a részhalmazát, amely azokból a $B$ -beli csúcsokból áll, amelyeknek van (legalább egy) szomszédja $X$ -ben. Képletben: $$N(X) = \{b\in B : \exists a \in X, {a, b} \in E(G) \}$$ -** Tétel -A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A$ -t lefedő +** Tétel(Hall tétele) +A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A\text{-t}$ lefedő párosítás, ha minden $X\subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül. +*** Bizonyítás +A szükségesség nyilvánvaló,hiszen ha nem így volna, akkor nem jutna minden +$A\text{-beli}$ csúcshoz pár. + +Most megmutatjuk,hogy ha $|N(X)|\geq |X|$ $\forall X\subseteq A$ esetén,akkor +$\exists A\text{-t}$ lefedő párosítás. Tegyük fel indirekt módon.Futtassuk le a +javító utas algoritmust végig. Ekkor nem létezik $A\text{-t}$ fedő párosítás, +így $A_1\neq\varnothing$.Ezért $N(A_1\cup A_2)=B_2$ lemma miatt. Ha viszont ez +$X=A_1\cup A_2$,akkor $|X|>N(X)=B2$ (Hiszen $|B_2|=|A_2|$ és $A_1\neq\varnothing$),ami ellentmondás. *** Következmény (Frobenius tétele) A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha $|A| = |B|$ és minden $X \subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül. +*** Frobenius tételének bizonyítása +A szükségesség itt is nyilvánvaló,hiszen minden $A\text{-beli}$ csúcshoz egy +$B\text{-beli}$ csúcsot akarunk rendelni. + +A Hall tételben már láttuk az elégségességét,és mivel $|A|=|B|$,így a szerepük felcserélhető *** Következmény -Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf d-reguláris, ahol $d \geq 1$ tetszőleges egész, akkor $G$ -ben van teljes párosítás. +Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf $d\text{-reguláris}$, ahol $d \geq 1$ tetszőleges egész, +akkor $G$ -ben van teljes párosítás. +*** Következmény bizonyítása +Mivel $G$ $d\text{-reguláris}$, ezért $|E|=d\cdot|A|$ és $|E|=d\cdot|B|$. Ezek +miatt $|A|=|B|$ adódik. + +Legyen $X\subseteq A$ tetszőleges csúcshalmaz, és jelölje $E_X$ az $X\text{-re}$ +illeszkedő élek halmazát. Mivel minden $X\text{-beli}$ csúcsra $d$ darab +$E_X\text{-beli}$ él illeszkedik,így $|E_X|=d\cdot|X|$. $N(X)$ csúcsokra nem +csak $E_X\text{beli}$ élek illeszkedhetnek,de az elmondható,hogy legfeljebb $d$ +darab illeszkedik, így $|E_X|\leq d\cdot|N(X)|$. Így adódik,hogy $|X|<|N(X)|$, +ezzel beláttuk a tételt. * Gráfok élszínezése $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$ ** Definíció Legyen $G$ egy gráf és $k \geq 1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel élszínezhető, ha a $G$ minden éle kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$