Kisebb hibák javítása

bsz2.org

@@ -118,7 +118,7 @@
 ** Teljes gráf
    Bármely két különböző csúcs össze van kötve.
 ** Komplementer gráf
-   Ugyanazon pontokból áll, teljes gráf $ -$ gráf élei
+   Ugyanazon pontokból áll, teljes gráf $-$ gráf élei
 ** Izomorf gráf
    Két gráfot akkor nevezünk izomorfnak, ha pontjaik és éleik kölcsönösen egyértelműen és illeszkedéstartóan megfeleltethetők egymásnak.
 ** Élsorozat
@@ -260,7 +260,7 @@
    előbbi jelölésekkel $e\leq3n-6$.
 *** Bizonyítás
     Vegyük $G$ egy tetszőleges síkbarajzolását, és a tartományokat határoló élek
-    számát jelöljük $c_1,c_2,c_3,\dotsc_t\text{-el}$. Mivel a gráf egyszerű így
+    számát jelöljük $c_1,c_2,c_3,\dotsc,c_t\text{-el}$. Mivel a gráf egyszerű így
     minden $c_i\text{-re}$ teljesül,hogy $c_i\geq 3$. Nyilvánvaló, hogy egy él
     legfeljebb két tartomání határához tartozik,tehát ha összegezzük a határoló élek
     számát akkor legfeljebb egy élet kétszer számolunk. Így az alábbi egyenletet
@@ -297,8 +297,12 @@
     A $K_{3,3}$ nem tartalmaz 3 hosszú utat, így alkalmazható a [[*Becslés az élek
     számára háromszögmentes gráfban]] tétel.A $K_{3,3}\text{-nak}$ 6 csúcsa és 9 éle
     van: $9>2\cdot6-4=8$,ez  ellentmondás,azaz a $K_{3,3}$ sem rajzolható síkba.
-** TODO Síkbabarjzolható gráfok dualitása
+** Síkbabarjzolható gráfok dualitása
-
+   Minden síkbarajzolható $G$ gráfból, létrehozhatunk egy $G^*$ gráfot a következő eljárás alapján:
+   - $G$ minden tartományához,rendelünk egy $G^*\text{-beli}$ csúcsot
+   - Két csúcsot akkor kötünk össze,ha a megfelelő tartományoknak,van közös
+     határéle
+$G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba alakíthatóak.
 * Euler- és Hamilton körök $\protect \footnote{ \cite{kv} alapján.}$
 ** Definíció
    A $G$ gráf Euler-körének nevezünk egy zárt élsorozatot, ha az élsorozat pontosan
@@ -312,7 +316,7 @@
     Először belátjuk,hogy ha egy gráfban van Euler-kör,akkor minden pont foka
     páros. Induljunk ki először egy tetszőleges csúcsból és járjuk be az Euler-köre
     mentén. Vegyük észre,hogy minden csúcsba, annyiszor ''megyünk be'', ahányszor
-    kimegyünk belőle,így a ''kilépések'' és a ''belépések'' számának összege éppen a
+    ''kimegyünk'' belőle,így a ''kilépések'' és a ''belépések'' számának összege éppen a
     csúcs fokszáma. Ez így pedig biztosan páros.
 
     A másik irányt(ha minden csúcs foka páros,akkor van Euler-kör) indukcióval
@@ -372,8 +376,8 @@
     Hamilton-kör. Vegyünk hozzá a gráfhoz éleket,úgy hogy
     továbbra se legyen benne Hamilton-kör. Ezt egészen addig csináljuk,amíg már nem
     tudunk több ilyen élet hozzávenni. Az így kapott $G'$ gráfra továbbra is
-    teljesül a kezdeti feltétel. Biztosan van benne két olyan pont,hogy ${x,y}\notin
+    teljesül a kezdeti feltétel.Ekkor biztosan van benne két olyan pont,hogy ${x,y}\notin
-    E(G')$. Ekkor $G'+{x,y}$ gráfban már van egy Hamilton-kör, és Hamilton-út
+    E(G')$ és $G'+{x,y}$ gráfban már van egy Hamilton-kör, és Hamilton-út
     is. Legyen ez $P=(z_1,z_2,\dots,z_n)$,ahol $z_1=x$ és $z_n=y$.
 
     Ha $x$ szomszédos a $P$ út valamely $z_k$ csúcsával,akkor $y$ nem lehet
@@ -411,8 +415,41 @@
 ** Tétel(Zykov konstrukciója)
    Minden $k\geq2$ esetén létezik olyan $G_k$ gráf, amire $\omega(G_k ) = 2$ és
    $\chi(G_k ) = k$.
-*** TODO Bizonyítás
+*** Bizonyítás
-    *NEM, KÖSZÖNÖM MÁR JÓLLAKTAM!*
+    - $G_2$,azaz $k=2\text{-re}$ elég a $K_2$ gráfot megvizsgálni
+    - A továbbiakban $G_k$ megadásához rekurziót használunk:
+      * Induljunk ki pl $G_3$ (egy 5 hosszú) ebből megkaphatjuk $G_$k\text{-t}$
+	tetszőleges $k\text{-ra}$ (természetesen $k \geq 3$)
+      * Tegyük fel,hogy $G_k=(V,E)$ gráfban már adott,hogy $\omega(G_k)=2$ és $\chi(G_k)=k$.
+      * Vegyük $G_k\text{-nak}$ $k$ darab diszjunkt példányát,azaz ''másoljuk le'' a
+	$V$ csúcshalmazt $k\text{-szor}$
+      * Az így kapott csúcshalmazokat $V_1,V_2,\ldots,V_k$ jelöli.
+      * Minden $V_i$ halmazban,azokat a csúcsokat kössük,össze mint amik eredetileg is
+	össze voltak kötve
+      * Ezen kívül $V_1,V_2,\ldots,V_k$ csúcshalmazok közül, válasszuk ki egyet-egyet
+	az összes lehetséges módon. Ezekhez vegyünk fel egy új csúcsot, és kössük
+	össze a kiválasztott csúcsokkal
+      * Az így kapott gráfot jelöljük $G_{k+1}\text{-el}$
+    - Jelölje a $V-i\text{-kből}$ kiválasztott $\text{csúcs-}k\text{-asokból}$
+      létrejött $G_{k+1}\text{-beli}$ csúcsok halmazát $Z$
+    - Megmutatjuk hogy $\omega(G_k)=2$
+      * Tudjuk hogy $\omega(G_k)=2$, és minden $V_i$ halmaz $G_k\text{-val}$
+	izomorfak. Ebben tehát biztosan nincs háromszög.
+      * $Z\text{-beli}$ csúcsok sem alkothatnak háromszöget,hiszen különböző
+	$V_i\text{-kbeli}$ csúcsokkal van összekötve
+    - Belátjuk,hogy $G_{k+1}$ kiszínezhető $k+1$ színnel
+      * Tudjuk,hogy $G_k$ legalább $k$ színnel színezhető csak ki és $\forall V_i$
+	izomorf $G_k\text{-val}$
+      * Színezzük ki tehát $V_i\text{-ket}$ ugyanazzal a $k$ színnel
+      * A $Z\text{-beli}$ csúcsokat színezzük ki $(k+1)\text{-edik}$ színnel.
+      * Mivel $Z$ csúcsai között nem futnak élek így ez egy helyes színezés
+    - Meg kell mutatnunk,hogy $G_{k+1}$ nem színezhető ki $k$ színnel
+      * Válasszuk $V_1\text{-ből}$ egy $1$. színű $v_1$ csúcsot, $V_2\text{-ből}$
+	egy $2$. színű csúcsot, stb.
+      * Most vegyük az ezekkel összekötött $z \in Z$ csúcsot. Ez nem színezhető ki
+	$k$ szín egyikével sem,hiszen minden $k$ színnel szomszédos
+      * Ekkor $z$ csak egy $(k+1)\text{-edik}$ színnel színezhető ki
+
 ** Állítás
    Legyen $G$ (hurokélmentes) gráf és jelölje $\Delta(G)$ a $G$ -beli maximális
    fokszámot (vagyis a $G$ -beli csúcsok fokszámai közül a legnagyobbat). Ekkor a
@@ -594,11 +631,30 @@
    A $G$ gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha a csúcsok minden
    $X\subseteq V(G)$ részhalmazára $c_p (G - X) \leq |X|$ teljesül.
 
+
    Más szóval: pontosan akkor létezik teljes párosítás $G$ gráfban,ha
    $G\text{-ből}$ bárhogyan $k$ darab csúcsot elhagyva a kapott gráfban páratlan
    sok csúcsú komponenseinek száma legfeljebb $k$. 
-
+*** Jelölések
-*** TODO Bizonyítás
+**** $G-X$: Az a gráf,amelyet $G\text{-ből}$ az $X$ csúcsai és arra illeszkedő élei elhagyásával kapunk.
+**** $c_p(H)$: $H$ páratlan sok csúcsot tartalmazó komponenseinek száma
+*** Bizonyítás
+    - Tegyük fel,hogy $G\text{-ben}$ $\exists$ teljes párosítás.
+    - Megmutatjuk,hogy $c_p (G - X) \leq |X|$ ekkor teljesül
+    - Rögzítsünk $G\text{-ben}$ egy $M$ teljes párosítást
+    - Vegyünk egy tetszőleges $X \subseteq V(G)$ részhalmazt, és hagyjuk el $G\text{-ből}$
+    - Tegyük fel, hogy ez után $l$ darab páratlan komponens jön létre: $C_1,C_2,\ldots,C_l$
+    - Válasszunk ki egy $C_i$ páratlan komponenst $G\text{-ben}$
+    - Figyeljük meg,hogy $C_i$ minden csúcsához tartozik egy $M\text{-beli}$
+      él,hiszen $M$ teljes párosítás.
+    - Mivel $C_i$ páratlan kell legyen legalább egy $C_i\text{-n}$ beli csúcs,amit egy
+      $M\text{-beli}$ él $C_i\text{-n}$ kívüli ponttal köt össze
+    - Minden $C_i\text{-hez}$ válasszunk egy ilyet, és jelöljük $v_i\text{-vel}$
+    - Ekkor minden $v_i \in X$,hiszen $C_i$ külön komponenst alkot $X$ elhagyása
+      után, és mivel $M$ teljes párosítás, így minden $v_i$ különböző
+    - Ezzel beláttuk,hogy $X\text{-nek}$ legalább $c_p(G-X)=l$ csúcsa van.($|X|$
+      tartalmazhat ennél több pontot is,csak azok nem hoznak létre több páratlan
+      csúcsú komponenst)
 
 * Párosítások $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
 ** Párosítások páros gráfokban
@@ -896,9 +952,9 @@
 
     Ebből már egyértelműen adódik,hogy $\max\{m_f:f\text{ folyam}\}= d =\min\{c(X):X\>st\text{ folyam}\}$
 ** Egészértékűségi lemma
-:PROPERTIES:
+   :PROPERTIES:
-:CUSTOM_ID: egér
+   :CUSTOM_ID: egér
-:END:
+   :END:
    Tegyük fel, hogy a $(G, s,t, c)$ hálózatban minden $e\in E(G)$ élre $c(e)\in\mathbb{Z}$. Ekkor
 
    1. Létezik olyan $f$ maximális folyam a hálózatban, amelyre $f (e)\in\mathbb{Z}$ minden
@@ -964,9 +1020,9 @@
      - A [[#dilemma]] lemma miatt $d=k$
 
 ** Tétel
-:PROPERTIES:
+   :PROPERTIES:
-:CUSTOM_ID: eldis_tet
+   :CUSTOM_ID: eldis_tet
-:END:
+   :END:
    Legyen adott a $G$ irányítatlan gráf, annak az $s,t \in V (G)$ különböző
    csúcsai és a $k \geq 1$ egész. Ekkor az alábbi állítások ekvivalensek:
    1. Létezik $G$ -ben $k$ éldiszjunkt irányítatlan út $s$ -ből $t$ -be.
@@ -1006,9 +1062,9 @@
    -be vezető irányítatlan utakat, ha $s\notin Y, t\notin Y$ és minden $s$ és
    $t$ végpontú, $G$ -beli irányítatlan út tartalmaz $Y$ -beli csúcsot.
 ** Tétel
-:PROPERTIES:
+   :PROPERTIES:
-:CUSTOM_ID: pdt
+   :CUSTOM_ID: pdt
-:END:
+   :END:
    Legyen adott a $G$ irányított gráf, az $s,t \in V (G)$ különböző csúcsok,
    amelyekre $(s,t)\notin E(G)$ és a $k \geq 1$ egész. Ekkor az alábbi állítások ekvivalensek:
    1. Létezik $G$ -ben $k$ pontdiszjunkt irányított út $s$ -ből $t$ -be.
@@ -1042,14 +1098,14 @@
        - [[*Ford-Fulkerson Tétel][Ford-Fulkerson tételből]] következik,hogy
          $max\{m_f:f\>\text{folyam}\}\geq k$ teljesül, így a 3. pontot beláttuk
 **** $3.\implies1$.
-- A [[#egér]] lemma miatt következik, hogy $m_f=d\geq k$ értékű folyam
+     - A [[#egér]] lemma miatt következik, hogy $m_f=d\geq k$ értékű folyam
-- Ebből [[#dilemma]] lemmát alkalmazva, azt kapjuk,hogy $\exists P_1,P_2,\ldots,P_d$
+     - Ebből [[#dilemma]] lemmát alkalmazva, azt kapjuk,hogy $\exists P_1,P_2,\ldots,P_d$
-  éldiszjunkt irányított utak $s \rightarrow t$
+       éldiszjunkt irányított utak $s \rightarrow t$
-- Az előzőek szerint minden $P_i$ megfeleltethető egy $G\text{-beli}$ $P'_i$
+     - Az előzőek szerint minden $P_i$ megfeleltethető egy $G\text{-beli}$ $P'_i$
-  éldiszjunkt útnak.
+       éldiszjunkt útnak.
-- $P'_1,P'_2,\ldots,P'_d$ utak pedig pontdiszjunktak,hiszen ha $P'_i$ és $P'_j$
+     - $P'_1,P'_2,\ldots,P'_d$ utak pedig pontdiszjunktak,hiszen ha $P'_i$ és $P'_j$
-  is tartalmazná $v \neq s,t$ csúcsot $G\text{-ben}$, akkor $P_i$ és $P_j$ is
+       is tartalmazná $v \neq s,t$ csúcsot $G\text{-ben}$, akkor $P_i$ és $P_j$ is
-  tartalmazná a $(v_1,v_2)$ élt $H\text{-ban}$.
+       tartalmazná a $(v_1,v_2)$ élt $H\text{-ban}$.
 ** Tétel
    Legyen adott a $G$ *irányítatlan* gráf, az $s,t \in V (G)$ különböző csúcsok,
    amelyekre ${s,t} \notin E(G)$ és a $k \geq 1$ egész. Ekkor az alábbi állítások ekvivalensek:
@@ -1064,11 +1120,11 @@
 *** Bizonyítás
 **** $1.\implies2$.: azonos az [[#pdt][előző tétel]] bizonyításával
 **** $2.\implies3$.:
-- $G$ éleit helyettesítsük irányított élekkel, legyen ez a $G'$ gráf. Ekkor [[#pdt][az
+     - $G$ éleit helyettesítsük irányított élekkel, legyen ez a $G'$ gráf. Ekkor [[#pdt][az
-  előző tétel]] szerint legalább $k$ a maximális folyam értéke,abban a
+       előző tétel]] szerint legalább $k$ a maximális folyam értéke,abban a
-  gráfban,amit $G'$ széthúzásával kapunk. Ez éppen a 3. állítása.
+       gráfban,amit $G'$ széthúzásával kapunk. Ez éppen a 3. állítása.
 **** $3.\implies1$.:
-Az előző bekezdés és az [[#pdt][előző tétel]] bizonyításával belátható.
+     Az előző bekezdés és az [[#pdt][előző tétel]] bizonyításával belátható.
 *** Következmény(Menger tétele pontdiszjunkt utakra)
     Ha a $G$ (irányított vagy irányítatlan) gráfra és annak az $s,t \in V (G)$,
     $s\neq t$ csúcsaira $(s,t)\notin E(G)$, illetve ${s,t} \notin E(G)$ teljesül (az
@@ -1097,319 +1153,319 @@ Az előző bekezdés és az [[#pdt][előző tétel]] bizonyításával beláthat
       csúcsú és bármely két különböző csúcsa között létezik $k$ pontdiszjunkt út.
 *** Bizonyítás
 **** 1. pont bizonyítása 
-- Tegyük fel,hogy  $G$ bármely két különböző csúcsa között létezik $k$
+     - Tegyük fel,hogy  $G$ bármely két különböző csúcsa között létezik $k$
-  éldiszjunkt út. Ezekből hagyjuk el legfeljebb $k-1$ darabot, és a kapott gráfot jelölje $G'$.
+       éldiszjunkt út. Ezekből hagyjuk el legfeljebb $k-1$ darabot, és a kapott gráfot jelölje $G'$.
-- Mivel nem hagytuk el az összes éldiszjunkt utat,így legalább egy $P_i$ út még
+     - Mivel nem hagytuk el az összes éldiszjunkt utat,így legalább egy $P_i$ út még
-  benne van $G'$ gráfban
+       benne van $G'$ gráfban
-- Ez definíció szerint azt jelenti,hogy $G'$ összefüggő, $G$ pedig
+     - Ez definíció szerint azt jelenti,hogy $G'$ összefüggő, $G$ pedig
-  $k\text{szorosan összefüggő}$, ezzel az elégségességet beláttuk
+       $k\text{szorosan összefüggő}$, ezzel az elégségességet beláttuk
 **** 1. pont szükségessége
-- Tegyük fel hogy $G$ $k\text{-szorosan}$ összefüggő és legyen $s,t\in V(G),s
+     - Tegyük fel hogy $G$ $k\text{-szorosan}$ összefüggő és legyen $s,t\in V(G),s
-  \neq t$ tetszőleges csúcsok.
+       \neq t$ tetszőleges csúcsok.
-- Ha nem létezne $k$ éldiszjunkt út, akkor a [[#eldis_tet]] tétel szerint az $s
+     - Ha nem létezne $k$ éldiszjunkt út, akkor a [[#eldis_tet]] tétel szerint az $s
-  \rightarrow t$ utakat lefogó $Z$ élhalmaz legfeljebb $k-1$ élű.
+       \rightarrow t$ utakat lefogó $Z$ élhalmaz legfeljebb $k-1$ élű.
-- Ez azonban ellentmondás,hisz a $Z$ elhagyásával a kapott $G'$ gráf nem lenne összefüggő, mert nem volna $s$
+     - Ez azonban ellentmondás,hisz a $Z$ elhagyásával a kapott $G'$ gráf nem lenne összefüggő, mert nem volna $s$
-  és $t$ között út.
+       és $t$ között út.
 **** 2. pont bizonyítása
-- Tegyük fel,hogy $G$ bármely két csúcsa között létezik $k$ pontdiszjunkt
+     - Tegyük fel,hogy $G$ bármely két csúcsa között létezik $k$ pontdiszjunkt
-  út. Ezek közül hagyjunk el legföljebb $k-1$ darabot és a kapott gráfot jelölje $G'$
+       út. Ezek közül hagyjunk el legföljebb $k-1$ darabot és a kapott gráfot jelölje $G'$
-- Mivel minden $s,t\in V(G'),s \neq t$ között létezik út.,így $G'$ definíció
+     - Mivel minden $s,t\in V(G'),s \neq t$ között létezik út.,így $G'$ definíció
-  szerint összefüggő,tehát $G$ $k\text{-szorosan}$ összefüggő
+       szerint összefüggő,tehát $G$ $k\text{-szorosan}$ összefüggő
 **** 2. pont szükségessége
-- Tegyük fel, hogy $G$ $k\text{-szorosan}$ összefüggő és legyen $s,t \in V(G), s
+     - Tegyük fel, hogy $G$ $k\text{-szorosan}$ összefüggő és legyen $s,t \in V(G), s
-  \neq t$
+       \neq t$
 ***** Ha $s$ és $t$ nem szomszédosak:
-  Ha nem létezne $k$ pontdiszjunkt út,akkor [[#pdt]]
+      Ha nem létezne $k$ pontdiszjunkt út,akkor [[#pdt]]
-  tétel szerint létező, az $s$ és $t$ közötti utakat lefogó, legföljebb $k-1$
+      tétel szerint létező, az $s$ és $t$ közötti utakat lefogó, legföljebb $k-1$
-  csúcs elhagyásával a kapott $G'$ gráf, nem volna összefüggő,ami ellentmondás
+      csúcs elhagyásával a kapott $G'$ gráf, nem volna összefüggő,ami ellentmondás
 ***** Ha szomszédosak
-- Az előbb alkalmazott tétek itt nem használható fel
+      - Az előbb alkalmazott tétek itt nem használható fel
-- Hagyjuk el az összes $s$ és $t$ közti élt, jelölje ezt a $H$ gráf
+      - Hagyjuk el az összes $s$ és $t$ közti élt, jelölje ezt a $H$ gráf
-- Tegyük fel indirekt,hogy nem létezik $H\text{-ban}$ $k-1$ pontdiszjunkt $s
+      - Tegyük fel indirekt,hogy nem létezik $H\text{-ban}$ $k-1$ pontdiszjunkt $s
-  \rightarrow t$ út.
+	\rightarrow t$ út.
-- Alkalmazhatjuk a [[#pdt]] tételt, eszerint létezik $k-2$ elemű $Y$
+      - Alkalmazhatjuk a [[#pdt]] tételt, eszerint létezik $k-2$ elemű $Y$
-  csúcshalmaz,aminek elhagyásával a kapott $H'$ gráf nem összefüggő
+	csúcshalmaz,aminek elhagyásával a kapott $H'$ gráf nem összefüggő
-- Emiatt $s$ és $t$ különböző komponensekhez tartoznak.
+      - Emiatt $s$ és $t$ különböző komponensekhez tartoznak.
-- Mivel $G$ $k\text{-szorosan}$ összefüggő,így legföljebb $(k-2)$ csúcsot
+      - Mivel $G$ $k\text{-szorosan}$ összefüggő,így legföljebb $(k-2)$ csúcsot
-  hagytunk el
+	hagytunk el
-- Ekkor találhatunk egy $v \in V(H'),s \neq v \neq t$ csúcsot,ami nyilván csak
+      - Ekkor találhatunk egy $v \in V(H'),s \neq v \neq t$ csúcsot,ami nyilván csak
-  az egyik komponensébe tartozhat. Tegyük fel,hogy $v$ nincs az $s$ komponensében.
+	az egyik komponensébe tartozhat. Tegyük fel,hogy $v$ nincs az $s$ komponensében.
-- Most hagyjuk el $G\text{-ből}$ $Y \cup {t}$ csúcshalmazt, és jelöljük a kapott  gráfot $G'\text{-vel}$.
+      - Most hagyjuk el $G\text{-ből}$ $Y \cup {t}$ csúcshalmazt, és jelöljük a kapott  gráfot $G'\text{-vel}$.
-- Ezzel elhagyjuk az $s \rightarrow t$ éleket is,ezért $G'$ minden éle benne van
+      - Ezzel elhagyjuk az $s \rightarrow t$ éleket is,ezért $G'$ minden éle benne van
-  $H'\text{-gráfban}$. Így $v$ és $s$ $G'\text{-ben}$ ,vagyis $G'$ nem összefüggő
+	$H'\text{-gráfban}$. Így $v$ és $s$ $G'\text{-ben}$ ,vagyis $G'$ nem összefüggő
-- Ez ellentmondás,hiszen $G$ $k\text{-szorosan}$ összefüggő.
+      - Ez ellentmondás,hiszen $G$ $k\text{-szorosan}$ összefüggő.
 
 *** Következmény
-Ha a G gráf $k\text{-szorosan}$ pontösszefüggő, akkor $k\text{-szorosan}$
+    Ha a G gráf $k\text{-szorosan}$ pontösszefüggő, akkor $k\text{-szorosan}$
-élösszefüggő is.
+    élösszefüggő is.
 
 *** Következmény bizonyítása
-Ha $G$ $k\text{-szorosan}$ összefüggő, akkor a [[*Tétel (Menger tétele többszörös
+    Ha $G$ $k\text{-szorosan}$ összefüggő, akkor a [[*Tétel (Menger tétele többszörös
-összefüggőségre)]] 2. állítása szerint  bármely két csúcsa között létezik $k$
+    összefüggőségre)]] 2. állítása szerint  bármely két csúcsa között létezik $k$
-éldiszjunkt út. Mivel a pontdiszjunkt utak éldiszjunktak is egyben,így a [[Tétel
+    éldiszjunkt út. Mivel a pontdiszjunkt utak éldiszjunktak is egyben,így a [[Tétel
-(Menger tétele többszörös összefüggőségre)]] tétel 1. állítása alapján $G$ tényleg
+    (Menger tétele többszörös összefüggőségre)]] tétel 1. állítása alapján $G$ tényleg
-$k\text{-szorosan}$ élösszefüggő.
+    $k\text{-szorosan}$ élösszefüggő.
 * Aciklikus irányított gráfok(DAG) $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
 ** Fogalma
-Egy irányított $G$ gráfot akkor nevezünk *aciklikusnak*,ha nem tartalmaz
+   Egy irányított $G$ gráfot akkor nevezünk *aciklikusnak*,ha nem tartalmaz
-irányított kört. Angolul Directed Acyclic
+   irányított kört. Angolul Directed Acyclic
-Graph, röviden DAG.
+   Graph, röviden DAG.
 ** Definíció
- Legyen $G = (V, E)$ irányított gráf és $(v_1, v_2,\dots, v_n)$ a $G$ csúcsainak
+   Legyen $G = (V, E)$ irányított gráf és $(v_1, v_2,\dots, v_n)$ a $G$ csúcsainak
-egy felsorolása. A $(v_1 , v_2 ,\ldots, v_n )$ sorozatot topologikus rendezésnek
+   egy felsorolása. A $(v_1 , v_2 ,\ldots, v_n )$ sorozatot topologikus rendezésnek
-(vagy topologikus sorrendnek) nevezzük, ha $G$ minden $(x, y)$ élére x előbb van
+   (vagy topologikus sorrendnek) nevezzük, ha $G$ minden $(x, y)$ élére x előbb van
-a sorozatban, mint $y$ (vagyis ha $x = v_i$ és $y = v_j$ , akkor $i < j$).
+   a sorozatban, mint $y$ (vagyis ha $x = v_i$ és $y = v_j$ , akkor $i < j$).
 ** Tétel
-A $G$ irányított gráfnak akkor és csak akkor van topologikus rendezése, ha
+   A $G$ irányított gráfnak akkor és csak akkor van topologikus rendezése, ha
-aciklikus.
+   aciklikus.
 *** Bizonyítás
-- Az szükségessége magától értetődő.
+    - Az szükségessége magától értetődő.
-- Az elégségesség bizonyításához először be kell látnunk,hogy tartalmaz /nyelőt/
+    - Az elégségesség bizonyításához először be kell látnunk,hogy tartalmaz /nyelőt/
-  (Olyan csúcsot,amelyből nem indul ki él). Ez szerencsére könnyen található:
+      (Olyan csúcsot,amelyből nem indul ki él). Ez szerencsére könnyen található:
-  vegyük a gráf leghosszabb $P$ útját, ekkor a $P$ út $v$ végpontja nyelő.
+      vegyük a gráf leghosszabb $P$ útját, ekkor a $P$ út $v$ végpontja nyelő.
 
-- Válasszunk tehát egy nyelő,legyen ez $v_n$,majd hagyjuk el $G\text{-ből}$.
+    - Válasszunk tehát egy nyelő,legyen ez $v_n$,majd hagyjuk el $G\text{-ből}$.
-- A kapott $G'$ gráfban,szintén lesz egy $v_{n-1}$ nyelő, ezt is hagyjuk el.
+    - A kapott $G'$ gráfban,szintén lesz egy $v_{n-1}$ nyelő, ezt is hagyjuk el.
-- Folytassuk az eljárást amíg lehet
+    - Folytassuk az eljárást amíg lehet
-- A kapott $v_1,v_2,\ldots,v_n$ sorozat nyilván topologikus rendezés.
+    - A kapott $v_1,v_2,\ldots,v_n$ sorozat nyilván topologikus rendezés.
 ** Algoritmus legrövidebb és leghosszabb utak meghatározására aciklikus irányított gráfban.
-Irányított aciklikus gráfokban a legrövidebb és a leghosszabb utat lineáris
+   Irányított aciklikus gráfokban a legrövidebb és a leghosszabb utat lineáris
-időben meg lehet találni egy egyszerű algoritmussal.
+   időben meg lehet találni egy egyszerű algoritmussal.
  
-Fontos megjegyezni,hogy ebben az esetben minden él rendelkezik egy súllyal,ami
+   Fontos megjegyezni,hogy ebben az esetben minden él rendelkezik egy súllyal,ami
-az út ''hosszát'' jelenit.
+   az út ''hosszát'' jelenit.
 
-Keressük meg a $s \rightarrow v$  legrövidebb utat! 
+   Keressük meg a $s \rightarrow v$  legrövidebb utat! 
-- Ha $s$ a topologikus sorrendben hátrébb szerepel,akkor $\nexists$ ilyen út
+   - Ha $s$ a topologikus sorrendben hátrébb szerepel,akkor $\nexists$ ilyen út
-- Különben végig megyünk a csúcsokon $s\text{-től}$ $v\text{-ig}$ a topologikus
+   - Különben végig megyünk a csúcsokon $s\text{-től}$ $v\text{-ig}$ a topologikus
-  sorrendben. Minden csúcsra adok egy legrövidebb utat,úgy hogy megnézzük milyen
+     sorrendben. Minden csúcsra adok egy legrövidebb utat,úgy hogy megnézzük milyen
-  utak mennek bele,amelyek elérhetőek $s\text{-ből}$ és ezek közül kiválasztjuk
+     utak mennek bele,amelyek elérhetőek $s\text{-ből}$ és ezek közül kiválasztjuk
-  a legkisebb súlyút.
+     a legkisebb súlyút.
-Ez az algoritmus leghosszabb út keresésére is alkalmazható.
+   Ez az algoritmus leghosszabb út keresésére is alkalmazható.
 * Mélységi keresés $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
 ** Az algoritmus
-Vegyünk egy tetszőleges $G$ gráfot, és válasszunk ki egy tetszőleges $s$
+   Vegyünk egy tetszőleges $G$ gráfot, és válasszunk ki egy tetszőleges $s$
-csúcsot. Az algoritmus futtatásakor három változót is fenntartunk: A mélységi
+   csúcsot. Az algoritmus futtatásakor három változót is fenntartunk: A mélységi
-számát(hány csúcsban járt már;Jele: $d(v)$), befejezési szám(hány csúcs lett
+   számát(hány csúcsban járt már;Jele: $d(v)$), befejezési szám(hány csúcs lett
-befejezve;Jele: $f(v)$) és az legutóbb bejárt csúcsot(Jele: $m(v)$). A
+   befejezve;Jele: $f(v)$) és az legutóbb bejárt csúcsot(Jele: $m(v)$). A
-kiválasztott $s$ csúcsból kiindulva véletlenszerűen választunk a gráfból egy élt(ami olyan
+   kiválasztott $s$ csúcsból kiindulva véletlenszerűen választunk a gráfból egy élt(ami olyan
-csúcsba vezet,ahol még nem jártunk),amerre mehetünk. Ezt addig folytatjuk,amíg
+   csúcsba vezet,ahol még nem jártunk),amerre mehetünk. Ezt addig folytatjuk,amíg
-lehetséges. Minden egyes csúcsbalépéskor növeljük a mélységi számot. Ha az
+   lehetséges. Minden egyes csúcsbalépéskor növeljük a mélységi számot. Ha az
-algoritmus eljut egy olyan csúcsig,amiből nem vezet több út,akkor egyel
+   algoritmus eljut egy olyan csúcsig,amiből nem vezet több út,akkor egyel
-visszalép,és növeli a befejezési számot. Ha a gráf nem összefüggő és az
+   visszalép,és növeli a befejezési számot. Ha a gráf nem összefüggő és az
-algoritmus az adott komponensben már nem tud tovább lépni, akkor az eddig nem
+   algoritmus az adott komponensben már nem tud tovább lépni, akkor az eddig nem
-bejárt csúcsok közül választ egy tetszőlegest. 
+   bejárt csúcsok közül választ egy tetszőlegest. 
 ** DFS erdő
-A DFS által bejárt élek egy erdőt alkotnak.
+   A DFS által bejárt élek egy erdőt alkotnak.
 ** Definíció
- Tegyük fel, hogy az $s$ csúcsból indítva lefuttattuk a DFS algoritmust
+   Tegyük fel, hogy az $s$ csúcsból indítva lefuttattuk a DFS algoritmust
-a $G$ irányított gráfban. Jelölje a futáshoz tartozó DFS-erdőt $F$. Legyen $e = (u, v)$
+   a $G$ irányított gráfban. Jelölje a futáshoz tartozó DFS-erdőt $F$. Legyen $e = (u, v)$
-a $G\text{-nek}$ egy tetszőleges éle. Ekkor
+   a $G\text{-nek}$ egy tetszőleges éle. Ekkor
-1. $e\text{-t}$ faélnek nevezzük, ha $e \in E(F)$;
+   1. $e\text{-t}$ faélnek nevezzük, ha $e \in E(F)$;
-2. $e\text{-t}$ előreélnek nevezzük, ha nem faél, de $F$-ben van $u$ -ból $v$ -be irányított út
+   2. $e\text{-t}$ előreélnek nevezzük, ha nem faél, de $F$-ben van $u$ -ból $v$ -be irányított út
-   (vagyis $v$ „leszármazottja” $u$ -nak);
+      (vagyis $v$ „leszármazottja” $u$ -nak);
-3. $e\text{-t}$ visszaélnek nevezzük, ha $F$ -ben van $v$ -ből $u$ -ba irányított út (vagyis $v$
+   3. $e\text{-t}$ visszaélnek nevezzük, ha $F$ -ben van $v$ -ből $u$ -ba irányított út (vagyis $v$
-   „őse” $u$ -nak);
+      „őse” $u$ -nak);
-4. $e\text{-t}$ keresztélnek nevezzük, ha $F$ -ben sem $u$ -ból $v$ -be, sem $v$
+   4. $e\text{-t}$ keresztélnek nevezzük, ha $F$ -ben sem $u$ -ból $v$ -be, sem $v$
-   -ből $u$ -ba nincs irányított út (vagyis $u$ és $v$ között nincs „egyenes ági
+      -ből $u$ -ba nincs irányított út (vagyis $u$ és $v$ között nincs „egyenes ági
-   leszármazási viszony”). 
+      leszármazási viszony”). 
 ** Tétel
-:PROPERTIES:
+   :PROPERTIES:
-:CUSTOM_ID: dfs
+   :CUSTOM_ID: dfs
-:END:
+   :END:
-Tegyük fel, hogy a $G$ irányított gráfra a DFS algoritmust futtatva az
+   Tegyük fel, hogy a $G$ irányított gráfra a DFS algoritmust futtatva az
-éppen az $e = (a, v)$ élen próbál továbblépni (így az aktív csúcs jelenleg $a$). Ekkor
+   éppen az $e = (a, v)$ élen próbál továbblépni (így az aktív csúcs jelenleg $a$). Ekkor
-$e$ erre a DFS bejárásra vonatkozóan akkor és csak akkor lesz
+   $e$ erre a DFS bejárásra vonatkozóan akkor és csak akkor lesz
-1. Faél, ha $d(v) = *$;
+   1. Faél, ha $d(v) = *$;
-2. Előreél, ha $d(v) > d(a)$;
+   2. Előreél, ha $d(v) > d(a)$;
-3. Visszaél, ha $d(v) < d(a)$ és $f(v) = *$;
+   3. Visszaél, ha $d(v) < d(a)$ és $f(v) = *$;
-4. Keresztél, ha $d(v) < d(a)$ és $f(v) \neq *$.
+   4. Keresztél, ha $d(v) < d(a)$ és $f(v) \neq *$.
 *** Bizonyítás 
-- Ha $d(v)=*$,akkor $m(v)=a$,tehát $e$ valóban faél.
+    - Ha $d(v)=*$,akkor $m(v)=a$,tehát $e$ valóban faél.
-- Egészítsük ki az algoritmust egy $T$ változóval, ami az eltelt időt
+    - Egészítsük ki az algoritmust egy $T$ változóval, ami az eltelt időt
-  jelenti. Ezzel minden $v$ csúcshoz hozzárendelhetünk egy  $kezd(v)$ kezdési
+      jelenti. Ezzel minden $v$ csúcshoz hozzárendelhetünk egy  $kezd(v)$ kezdési
-  időt,és egy $bef(v)$ befejezési időt. A kettő közti intervallumot
+      időt,és egy $bef(v)$ befejezési időt. A kettő közti intervallumot
-  $I(v)\text{-tel}$ jelöljük
+      $I(v)\text{-tel}$ jelöljük
-- Az eljárás során, $T$ változót mindig növeljük meg, ha belépünk egy új csúcsba.
+    - Az eljárás során, $T$ változót mindig növeljük meg, ha belépünk egy új csúcsba.
-- Először vegyük észre,hogy ha veszünk egy $I(v)$ időintervallumot, akkor ehhez
+    - Először vegyük észre,hogy ha veszünk egy $I(v)$ időintervallumot, akkor ehhez
-  megfeleltethetünk egy $F_v$ fát,amit ez alatt jár be. Ez egy részgráf lesz
+      megfeleltethetünk egy $F_v$ fát,amit ez alatt jár be. Ez egy részgráf lesz
-  $F\text{-nek}$.
+      $F\text{-nek}$.
-- Tegyük fel hogy az $(a,v)$ élen a $T$ pillanatban próbál továbblépni. Ekkor
+    - Tegyük fel hogy az $(a,v)$ élen a $T$ pillanatban próbál továbblépni. Ekkor
-  $kezd(a)\leq T \leq bef(a)$.
+      $kezd(a)\leq T \leq bef(a)$.
-- Ha $d(v)>d(a)$, akkor $kezd(a)$ pillanatban $d(v)=*$ volt,így $v \in F_a$,azaz
+    - Ha $d(v)>d(a)$, akkor $kezd(a)$ pillanatban $d(v)=*$ volt,így $v \in F_a$,azaz
-  $e$ egy előreél
+      $e$ egy előreél
-- Ha $d(v)<d(a)$, akkor $kezd(v)$ pillanatban $d(a)=*$ volt. Ha emellett
+    - Ha $d(v)<d(a)$, akkor $kezd(v)$ pillanatban $d(a)=*$ volt. Ha emellett
-  $f(v)=*$ is igaz,akkor $kezd(v)<kezd(a)<\leq T < bef(v)$. Ezért $a \in F_v$,
+      $f(v)=*$ is igaz,akkor $kezd(v)<kezd(a)<\leq T < bef(v)$. Ezért $a \in F_v$,
-  így $e$ valóban visszaél.
+      így $e$ valóban visszaél.
-- Ha $d(v)<d(a)$ és $f(v) \neq *$,akkor $kezd(a)$ pillanatban $I(v)$ már véget
+    - Ha $d(v)<d(a)$ és $f(v) \neq *$,akkor $kezd(a)$ pillanatban $I(v)$ már véget
-  ért. Így $a \notin F_v$ és $v \notin F_a$,így nincs irányított út
+      ért. Így $a \notin F_v$ és $v \notin F_a$,így nincs irányított út
-  $F\text{-ben}$ $a \rightarrow v$ irányított út,vagyis $e$ keresztél
+      $F\text{-ben}$ $a \rightarrow v$ irányított út,vagyis $e$ keresztél
 
-Mivel minden lehetőséget lefedtünk,így definíció szerint az állításokat beláttuk.
+    Mivel minden lehetőséget lefedtünk,így definíció szerint az állításokat beláttuk.
 ** Tétel
- Futtassuk le a DFS algoritmust a $G$ irányított gráfban az $s$ csúcsból
+   Futtassuk le a DFS algoritmust a $G$ irányított gráfban az $s$ csúcsból
-indítva. $G$ akkor és csak akkor aciklikus, ha az eljárás során nem keletkezik
+   indítva. $G$ akkor és csak akkor aciklikus, ha az eljárás során nem keletkezik
-visszaél és ebben az esetben a befejezési számozás szerinti fordított sorrendben
+   visszaél és ebben az esetben a befejezési számozás szerinti fordított sorrendben
-felsorolva $G$ csúcsait topologikus rendezést kapunk.
+   felsorolva $G$ csúcsait topologikus rendezést kapunk.
 *** Bizonyítás
-- Ha keletkezik egy $e=(a,v)$ visszaél,akor $G$ nyilván tartalmaz irányított
+    - Ha keletkezik egy $e=(a,v)$ visszaél,akor $G$ nyilván tartalmaz irányított
-  kört: $F$ DFS-erdő tartalmaz $v \rightarrow a$ utat,ha ezt kiegészítjük
+      kört: $F$ DFS-erdő tartalmaz $v \rightarrow a$ utat,ha ezt kiegészítjük
-  $e\text{-vel}$ akkor egy kört kapunk.
+      $e\text{-vel}$ akkor egy kört kapunk.
-- Tegyük fel, hogy nem keletkezett visszaél,így $G $minden $e=(a,v)$ éle
+    - Tegyük fel, hogy nem keletkezett visszaél,így $G $minden $e=(a,v)$ éle
-  faél,előreél vagy keresztél. Ekkor be kell látnunk,hogy $f(v)<f(a)$,mert ezzel
+      faél,előreél vagy keresztél. Ekkor be kell látnunk,hogy $f(v)<f(a)$,mert ezzel
-  a második állítás is igaz
+      a második állítás is igaz
-- Használjuk fel a [[#dfs]] tétel bizonyításában használt elveke.
+    - Használjuk fel a [[#dfs]] tétel bizonyításában használt elveke.
-- Ha $e$ faél vagy előreél, akkor $kezd(v)$ $I(a)\text{-be}$ tartozik,így $F_a$
+    - Ha $e$ faél vagy előreél, akkor $kezd(v)$ $I(a)\text{-be}$ tartozik,így $F_a$
-  részgráfja $F_$v\text{-nek}, azaz $f(a)<f(a)$
+      részgráfja $F_$v\text{-nek}, azaz $f(a)<f(a)$
-- Ha $e$ keresztél, akkor $T$ pillanatban már $f(v) \ne *$,viszont $f(a)=*$, így
+    - Ha $e$ keresztél, akkor $T$ pillanatban már $f(v) \ne *$,viszont $f(a)=*$, így
-  valóban $f(v)<f(a)$
+      valóban $f(v)<f(a)$
 * Legrövidebb utak meghatározása adott csúcsból $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
 ** Definíció
-A $G = (V, E)$ irányított gráf élein a $w : E \rightarrow \mathbb{R}$ függvényt
+   A $G = (V, E)$ irányított gráf élein a $w : E \rightarrow \mathbb{R}$ függvényt
-konzervatívnak nevezzük, ha $G$ minden (hurokéltől különböző, vagyis legalább két
+   konzervatívnak nevezzük, ha $G$ minden (hurokéltől különböző, vagyis legalább két
-élű) irányított körének éleire a $w(e)$ értékek összege nemnegatív.
+   élű) irányított körének éleire a $w(e)$ értékek összege nemnegatív.
 ** Állítás
-:PROPERTIES:
+   :PROPERTIES:
-:CUSTOM_ID: kort
+   :CUSTOM_ID: kort
-:END:
+   :END:
- Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, az $s, v \in V (G)$, $s \neq v$ csúcsok
+   Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, az $s, v \in V (G)$, $s \neq v$ csúcsok
-és $G$ élein a $w : E\rightarrow\mathbb{R}$ konzervatív hosszfüggvény. Ekkor ha létezik $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ egy
+   és $G$ élein a $w : E\rightarrow\mathbb{R}$ konzervatív hosszfüggvény. Ekkor ha létezik $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ egy
-$t$ összhosszúságú, $k$ élből álló $Q$ élsorozat, akkor létezik $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ egy legföljebb $t$
+   $t$ összhosszúságú, $k$ élből álló $Q$ élsorozat, akkor létezik $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ egy legföljebb $t$
-összhosszúságú és legföljebb $k$ élű $P$ út is.
+   összhosszúságú és legföljebb $k$ élű $P$ út is.
 *** Bizonyítás
-- Ha $Q$ nem irányított út,akkor van olyan csúcs,amit többször érint
+    - Ha $Q$ nem irányított út,akkor van olyan csúcs,amit többször érint
-- Keressük meg az ilyen ismétlődő pontpárok közül azt,amelyik között a
+    - Keressük meg az ilyen ismétlődő pontpárok közül azt,amelyik között a
-  legkevesebb él van (Q-ban): legyen ez $u$
+      legkevesebb él van (Q-ban): legyen ez $u$
-- Ekkor létezik egy $C$ irányított élsorozat $u\text{-ból}$
+    - Ekkor létezik egy $C$ irányított élsorozat $u\text{-ból}$
-  $u\text{-ba}$. $C\text{-nek}$ körnek kell lennie,hiszen $u$ választása
+      $u\text{-ba}$. $C\text{-nek}$ körnek kell lennie,hiszen $u$ választása
-  miatt,nem létezhet benne ismétlődő csúcspár (mert akkor azok között kevesebb
+      miatt,nem létezhet benne ismétlődő csúcspár (mert akkor azok között kevesebb
-  él lenne)
+      él lenne)
-- Vágjuk ki $Q\text{-ból}$ a $C$ irányított kört, a kapott élsorozat legyen
+    - Vágjuk ki $Q\text{-ból}$ a $C$ irányított kört, a kapott élsorozat legyen
-  $Q_1$.
+      $Q_1$.
-- Ekkor $Q_1$ is $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$,aminek élszáma $k\text{-vál}$
+    - Ekkor $Q_1$ is $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$,aminek élszáma $k\text{-vál}$
-  kisebb és összhossza legfeljebb $t$ (mivel $w$ konzervatív,így $C$ összhossza
+      kisebb és összhossza legfeljebb $t$ (mivel $w$ konzervatív,így $C$ összhossza
-  nemnegatív)
+      nemnegatív)
-- Ha $Q_1$ nem irányított út,akkor $Q_1$ is tartalmaz ismétlődő csúcsokat
+    - Ha $Q_1$ nem irányított út,akkor $Q_1$ is tartalmaz ismétlődő csúcsokat
-- A fentieket ismételjük,addig amíg van ismétlődő csúcs,akkor a kapott amíg
+    - A fentieket ismételjük,addig amíg van ismétlődő csúcs,akkor a kapott amíg
-  $Q_n$ egy irányított út lesz.
+      $Q_n$ egy irányított út lesz.
-- Mivel az eljárás során az összhosz nem nőhet,így az állítást beláttuk
+    - Mivel az eljárás során az összhosz nem nőhet,így az állítást beláttuk
 *** Következmény
- Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, az $s, v \in V (G)$
+    Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, az $s, v \in V (G)$
-csúcsok és $G$ élein a $w : E \rightarrow\mathbb{R}$ konzervatív hosszfüggvény. Ha az $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ vezető
+    csúcsok és $G$ élein a $w : E \rightarrow\mathbb{R}$ konzervatív hosszfüggvény. Ha az $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ vezető
-$P$ legrövidebb út áthalad az $u$ csúcson, akkor $P\text{-nek}$ az $s\text{-től}$ $u\text{-ig}$ tartó $P$ $u$ szakasza
+    $P$ legrövidebb út áthalad az $u$ csúcson, akkor $P\text{-nek}$ az $s\text{-től}$ $u\text{-ig}$ tartó $P$ $u$ szakasza
-egy $s\text{-ből}$ $u\text{-ba}$ vezető legrövidebb út.
+    egy $s\text{-ből}$ $u\text{-ba}$ vezető legrövidebb út.
 *** Következmény bizonyítása
-- Tegyük fel indirekten,hogy $exists s \rightarrow u$ egy $P_u\text{-nál}$
+    - Tegyük fel indirekten,hogy $exists s \rightarrow u$ egy $P_u\text{-nál}$
-  rövidebb $P'$ út.
+      rövidebb $P'$ út.
-- Ekkor $P'$ mentén haladva eljutunk $s\text{-ből}$ $u\text{-ba}$,majd onnan $P$
+    - Ekkor $P'$ mentén haladva eljutunk $s\text{-ből}$ $u\text{-ba}$,majd onnan $P$
-  mentén eljutunk $u\text{-ból}$ $v\text{-be}$. Legyen ez a $Q$ élsorozat.
+      mentén eljutunk $u\text{-ból}$ $v\text{-be}$. Legyen ez a $Q$ élsorozat.
-- Ekkor azonban $Q$ rövidebb $s \rightarrow v$ út $P\text{-nél}$,ami ellentmond
+    - Ekkor azonban $Q$ rövidebb $s \rightarrow v$ út $P\text{-nél}$,ami ellentmond
-  annak, hogy $P$ legrövidebb út
+      annak, hogy $P$ legrövidebb út
 ** A Bellman-Ford algoritmus
 *** Definíció
-Jelölje  $\forall v \in V (G)$ csúcsra és $k \geq 0$ egészre $t_k (v)$ a
+    Jelölje  $\forall v \in V (G)$ csúcsra és $k \geq 0$ egészre $t_k (v)$ a
-legrövidebb olyan $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ vezető irányított út hosszát, ami
+    legrövidebb olyan $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ vezető irányított út hosszát, ami
-legföljebb $k$ élből áll; ha pedig ilyen út nincs, akkor legyen $t_k (v) = \infty$. 
+    legföljebb $k$ élből áll; ha pedig ilyen út nincs, akkor legyen $t_k (v) = \infty$. 
 *** Állítás
-:PROPERTIES:
+    :PROPERTIES:
-:CUSTOM_ID: kupal
+    :CUSTOM_ID: kupal
-:END:
+    :END:
- Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, az $s, v \in V (G)$, $v \neq s$ csúcsok
+    Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, az $s, v \in V (G)$, $v \neq s$ csúcsok
-és $G$ élein a $w : E \rightarrow \mathbb{R}$ konzervatív hosszfüggvény. Ekkor minden $k \geq 1$ esetén
+    és $G$ élein a $w : E \rightarrow \mathbb{R}$ konzervatív hosszfüggvény. Ekkor minden $k \geq 1$ esetén
-\begin{align}
+    \begin{align}
-t_k (v) = \min{\{\{t_{k-1}(v)\} \cup \{t_{k-1} (u) + w(e) : e = (u, v), e \in E(G)\}\}}
+    t_k (v) = \min{\{\{t_{k-1}(v)\} \cup \{t_{k-1} (u) + w(e) : e = (u, v), e \in E(G)\}\}}
-\end{align}
+    \end{align}
 **** Bizonyítás
-- Jelölje $H$ az egyenlet jobb oldalán lévő halmazt.Így azt kell belátnunk hogy
+     - Jelölje $H$ az egyenlet jobb oldalán lévő halmazt.Így azt kell belátnunk hogy
-  $t_k(v)$ a $H$ minimuma
+       $t_k(v)$ a $H$ minimuma
-- Ha $t_k(v) = \infty$,akkor persze $t_{k_1}(v) = \infty$ is igaz.
+     - Ha $t_k(v) = \infty$,akkor persze $t_{k_1}(v) = \infty$ is igaz.
-- Továbbá $e=(u,v)$ élekre is $t_{k-1}(u)= \infty$, hiszen ha nem így volna,akkor
+     - Továbbá $e=(u,v)$ élekre is $t_{k-1}(u)= \infty$, hiszen ha nem így volna,akkor
-  létezne $s\text{-ből}$ $u\text{-ba}$ egy legföljebb $k-1$ élű út, és ezt
+       létezne $s\text{-ből}$ $u\text{-ba}$ egy legföljebb $k-1$ élű út, és ezt
-  $e\text{-vel}$ kiegészítve $v\text{-be}$ vezető,legfeljebb $k$ élű utat kapnánk.
+       $e\text{-vel}$ kiegészítve $v\text{-be}$ vezető,legfeljebb $k$ élű utat kapnánk.
-- Tegyük fel tehát,hogy $t_k \neq \infty$
+     - Tegyük fel tehát,hogy $t_k \neq \infty$
-- Ekkor $t_k(v) \leq t_{k-1}(v)$ nyilván igaz,hiszen legföljebb $k-1$ élű utak
+     - Ekkor $t_k(v) \leq t_{k-1}(v)$ nyilván igaz,hiszen legföljebb $k-1$ élű utak
-  egyben legföljebb $k$ élű utak
+       egyben legföljebb $k$ élű utak
-- Legyen $e=(u,v)$ él. Ekkor $s\text{-ből}$ $u\text{-ba}$  vezető legföljebb $k-1$
+     - Legyen $e=(u,v)$ él. Ekkor $s\text{-ből}$ $u\text{-ba}$  vezető legföljebb $k-1$
-  élű és $t_{k-1}(u)$ hosszúságú $P$ utat megtoldunk $e\text{-vel}$
+       élű és $t_{k-1}(u)$ hosszúságú $P$ utat megtoldunk $e\text{-vel}$
-- Így egy legfeljebb $k$ élű és $t_{k-1}+w(e)$ hosszúságú $Q$ élsorozatot kapunk
+     - Így egy legfeljebb $k$ élű és $t_{k-1}+w(e)$ hosszúságú $Q$ élsorozatot kapunk
-- $Q$, nemfeltétlen út,de [[#kort]] állítás alapján tudjuk,hogy  $t_k\leq t_{k-1}+w(e)$
+     - $Q$, nemfeltétlen út,de [[#kort]] állítás alapján tudjuk,hogy  $t_k\leq t_{k-1}+w(e)$
-- Beláttuk hogy $t_k\leq \min{H}$,most megmutatjuk,hogy $H\text{-nak}$ van
+     - Beláttuk hogy $t_k\leq \min{H}$,most megmutatjuk,hogy $H\text{-nak}$ van
-  $t_k\text{-val}$ egyenlő eleme
+       $t_k\text{-val}$ egyenlő eleme
-- Legyen $P$ egy $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ vezető $t_k(v)$ hosszú és
+     - Legyen $P$ egy $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ vezető $t_k(v)$ hosszú és
-  legfeljebb $k$ élű út.
+       legfeljebb $k$ élű út.
-- Ha $P$ legfeljebb $k-1$ élű,akkor nyilván legrövidebb a legföljebb $k -
+     - Ha $P$ legfeljebb $k-1$ élű,akkor nyilván legrövidebb a legföljebb $k -
-  1$ élű, v-be vezető utak között is, így $t_k= t_{k-1}$
+       1$ élű, v-be vezető utak között is, így $t_k= t_{k-1}$
-- Ha $P$ pontosan $k$ élű,akkor jelölje az utolsó élét $e=(u,v)$ és $P$
+     - Ha $P$ pontosan $k$ élű,akkor jelölje az utolsó élét $e=(u,v)$ és $P$
-  $s\text{-től}$ $u\text{-ig}$ vett szakaszát $P_u$
+       $s\text{-től}$ $u\text{-ig}$ vett szakaszát $P_u$
-- Ekkor $P_u$ $t_{k-1}$ hosszú,mivel ha lenne rövidebb és legföljebb $k-1$ élű
+     - Ekkor $P_u$ $t_{k-1}$ hosszú,mivel ha lenne rövidebb és legföljebb $k-1$ élű
-  út $u\text{-ba}$ akkor, $e\text{-vel}$ kiegészítve egy $P\text{-nél}$ rövidebb
+       út $u\text{-ba}$ akkor, $e\text{-vel}$ kiegészítve egy $P\text{-nél}$ rövidebb
-  utat kapnánk,ami lehetetlen.
+       utat kapnánk,ami lehetetlen.
-- Így ebben az esetben $t_k(v)=t_{k-1}+w(e)$ tényleg fennáll.
+     - Így ebben az esetben $t_k(v)=t_{k-1}+w(e)$ tényleg fennáll.
 *** Az algoritmus
-Tegyük fel,hogy $G$ gráf $s$ csúcsából akarunk legrövidebb utakat keresni. Az
+    Tegyük fel,hogy $G$ gráf $s$ csúcsából akarunk legrövidebb utakat keresni. Az
-eljárás során mindenegyes csúcshoz hozzárendelhetünk egy számot,ami azt
+    eljárás során mindenegyes csúcshoz hozzárendelhetünk egy számot,ami azt
-jelzi,hogy az eddig megtalált legrövidebb út összhossza mekkora. Ezt az értéket
+    jelzi,hogy az eddig megtalált legrövidebb út összhossza mekkora. Ezt az értéket
-minden csúcsra inicializáljuk $\infty\text{-re}$ (kivéve $s\text{-hez}$,hozzá
+    minden csúcsra inicializáljuk $\infty\text{-re}$ (kivéve $s\text{-hez}$,hozzá
-nullát rendelünk)
+    nullát rendelünk)
 
-Az eljárás során minden ciklusban végigmegyünk $G$ összes csúcsán. Minden
+    Az eljárás során minden ciklusban végigmegyünk $G$ összes csúcsán. Minden
-csúcsban megvizsgáljuk,hogy a belőle kivezető élek rövidebb utat alkotnak-e az
+    csúcsban megvizsgáljuk,hogy a belőle kivezető élek rövidebb utat alkotnak-e az
-él végpontjába, mint az eddig megtalált. Ezt ismétli $(n-1)\text{-szer}$. 
+    él végpontjába, mint az eddig megtalált. Ezt ismétli $(n-1)\text{-szer}$. 
 *** Állítás
- Tegyük fel, hogy lefuttattuk a Bellman-Ford algoritmust az $n$ csúcsú
+    Tegyük fel, hogy lefuttattuk a Bellman-Ford algoritmust az $n$ csúcsú
-$G = (V, E)$ irányított gráfból, a $w : E \rightarrow \mathbb{R}$ hosszfüggvényből és az $s \in V$ csúcsból
+    $G = (V, E)$ irányított gráfból, a $w : E \rightarrow \mathbb{R}$ hosszfüggvényből és az $s \in V$ csúcsból
-álló bemenetre. Jelölje $G_s$ az $s\text{-ből}$ $G\text{-beli}$ irányított úton
+    álló bemenetre. Jelölje $G_s$ az $s\text{-ből}$ $G\text{-beli}$ irányított úton
-elérhető csúcsok és a köztük vezető élek által alkotott részgráfot. Ekkor $w$
+    elérhető csúcsok és a köztük vezető élek által alkotott részgráfot. Ekkor $w$
-akkor és csak akkor konzervatív $G_s\text{-en}$, ha $G_s$ minden $e = (u, v)$
+    akkor és csak akkor konzervatív $G_s\text{-en}$, ha $G_s$ minden $e = (u, v)$
-élére $t_{n-1} (v) \leq t_{n-1} (u) + w(e)$ teljesül.
+    élére $t_{n-1} (v) \leq t_{n-1} (u) + w(e)$ teljesül.
 
 **** Bizonyítás
-1) Szükségesség:
+     1) Szükségesség:
-   - Ha $w$ konzervatív,akkor a [[#kupal]] állításból következően minden $v \in
+	- Ha $w$ konzervatív,akkor a [[#kupal]] állításból következően minden $v \in
-     V(G_s)$ csúcsra a $t_{n-1}$ értékek helyesek,másrészt $t_n(v)\leq
+	  V(G_s)$ csúcsra a $t_{n-1}$ értékek helyesek,másrészt $t_n(v)\leq
-     t_{n-1}(u)+w(e)$ $G_s$ minden $e=(u,v)$ élére teljesül
+	  t_{n-1}(u)+w(e)$ $G_s$ minden $e=(u,v)$ élére teljesül
-   - Mivel $t_n(v)=t_{n-1}(v)$,így $t_{n-1}(v) \leq t_{n-1}(v) + w(e)$
+	- Mivel $t_n(v)=t_{n-1}(v)$,így $t_{n-1}(v) \leq t_{n-1}(v) + w(e)$
-2) Elégségesség:
+     2) Elégségesség:
-   - Tegyük fel,hogy $t_{n-1}(v) \leq t_{n-1}(v) + w(e)$ fennáll
+	- Tegyük fel,hogy $t_{n-1}(v) \leq t_{n-1}(v) + w(e)$ fennáll
-   - Legyen $C$ egy tetszőleges irányított kör $G_s\text{-ben}$
+	- Legyen $C$ egy tetszőleges irányított kör $G_s\text{-ben}$
-   - Ekkor $C$ $\forall e=(u,v)$  élre a következő egyenlőtlenséget kapjuk:
+	- Ekkor $C$ $\forall e=(u,v)$  élre a következő egyenlőtlenséget kapjuk:
-\begin{align}
+     \begin{align}
-w(e) \geq t_{n-1}(v) - t_{n-1}(v)=0
+     w(e) \geq t_{n-1}(v) - t_{n-1}(v)=0
-\end{align}
+     \end{align}
 ** Dijkstra algoritmusa
 *** Állítás
-Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, az $s \in V (G)$ csúcs és a
+    Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, az $s \in V (G)$ csúcs és a
-$w : E \rightarrow  \mathbb{R}^+ \cup \{0\}$ nemnegatív hosszfüggvény.
+    $w : E \rightarrow  \mathbb{R}^+ \cup \{0\}$ nemnegatív hosszfüggvény.
-- Jelölje továbbra is minden $v \in V (G)$ csúcsra $t(v)$ az $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ vezető
+    - Jelölje továbbra is minden $v \in V (G)$ csúcsra $t(v)$ az $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ vezető
-  legrövidebb út hosszát.
+      legrövidebb út hosszát.
-- Legyen $K \subseteq V$ egy tetszőleges olyan csúcshalmaz, amire $s \in K$ és $K \neq V$
+    - Legyen $K \subseteq V$ egy tetszőleges olyan csúcshalmaz, amire $s \in K$ és $K \neq V$
-- Minden olyan $v \notin K$ csúcsra, amibe vezet él $K\text{-beli}$ csúcsból,
+    - Minden olyan $v \notin K$ csúcsra, amibe vezet él $K\text{-beli}$ csúcsból,
-  legyen $t'(v) = \min{\{t(u) + w(e) : e = (u, v), u \in K\}}$.
+      legyen $t'(v) = \min{\{t(u) + w(e) : e = (u, v), u \in K\}}$.
-- Ha a $v \notin K$ csúcsba nem vezet él $K\text{-beli}$ csúcsból, akkor legyen $t'(v) = \infty$.
+    - Ha a $v \notin K$ csúcsba nem vezet él $K\text{-beli}$ csúcsból, akkor legyen $t'(v) = \infty$.
-- Legyen $a \notin K$ olyan csúcs, amire $t'(a) = \min\{t'(v) : v \notin K\}$. 
+    - Legyen $a \notin K$ olyan csúcs, amire $t'(a) = \min\{t'(v) : v \notin K\}$. 
 
-Ekkor $t\notin (a) = t(a)$.
+    Ekkor $t\notin (a) = t(a)$.
 *** Az algoritmus
-Tegyük fel,hogy $G$ gráf $s$ csúcsából akarunk legrövidebb utakat keresni. Az
+    Tegyük fel,hogy $G$ gráf $s$ csúcsából akarunk legrövidebb utakat keresni. Az
-eljárás során mindenegyes csúcshoz hozzárendelhetünk egy számot,ami azt
+    eljárás során mindenegyes csúcshoz hozzárendelhetünk egy számot,ami azt
-jelzi,hogy az eddig megtalált legrövidebb út összhossza mekkora. Ezt az értéket
+    jelzi,hogy az eddig megtalált legrövidebb út összhossza mekkora. Ezt az értéket
-minden csúcsra inicializáljuk $\infty\text{-re}$ (kivéve $s\text{-hez}$,hozzá
+    minden csúcsra inicializáljuk $\infty\text{-re}$ (kivéve $s\text{-hez}$,hozzá
-nullát rendelünk)
+    nullát rendelünk)
 
-Induljunk ki tehát $s\text{-ből}$ és a belőle kiinduló élek alapján frissítsük
+    Induljunk ki tehát $s\text{-ből}$ és a belőle kiinduló élek alapján frissítsük
-az egyes csúcsokhoz tartozó legrövidebb utakat. Ezután zárjuk le $s$
+    az egyes csúcsokhoz tartozó legrövidebb utakat. Ezután zárjuk le $s$
-csúcsot,majd folytassuk az eljárást az $s\text{-ből}$ legrövidebb úttal elérhető
+    csúcsot,majd folytassuk az eljárást az $s\text{-ből}$ legrövidebb úttal elérhető
-csúccsal. Az eljárást addig futtatjuk,ameddig minden csúcsa le nem lesz zárva.
+    csúccsal. Az eljárást addig futtatjuk,ameddig minden csúcsa le nem lesz zárva.
 
-  \clearpage
+    \clearpage
-  \begin{thebibliography}{99}
+    \begin{thebibliography}{99}
 
-  \bibitem[1]{kv}
+    \bibitem[1]{kv}
-  \bibentry{Katona Gyula – Recski András – Szabó Csaba, }{(2002)}{A számítástudomány alapjai, }{Budapest, }{Typotex Kiadó}{}{}
+    \bibentry{Katona Gyula – Recski András – Szabó Csaba, }{(2002)}{A számítástudomány alapjai, }{Budapest, }{Typotex Kiadó}{}{}
+
+    \bibitem[2]{hj}
+    \bibentry{Szeszlér Dávid, }{(2019)}{Bevezetés a Számításelméletbe 2 - Ideiglenes egyetemi jegyzet a koronavírus járvány idején zajló távoktatáshoz, }{Budapest, }{\url{http://cs.bme.hu/bsz2/bsz2_jegyzet.pdf}}{}{}
+    \end{thebibliography}
 
-  \bibitem[2]{hj}
-  \bibentry{Szeszlér Dávid, }{(2019)}{Bevezetés a Számításelméletbe 2 - Ideiglenes egyetemi jegyzet a koronavírus járvány idején zajló távoktatáshoz, }{Budapest, }{\url{http://cs.bme.hu/bsz2/bsz2_jegyzet.pdf}}{}{}
-  \end{thebibliography}
 
 
-