Kisebb hibák javítása

bsz2.org

@@ -260,7 +260,7 @@
    előbbi jelölésekkel $e\leq3n-6$.
 *** Bizonyítás
     Vegyük $G$ egy tetszőleges síkbarajzolását, és a tartományokat határoló élek
-    számát jelöljük $c_1,c_2,c_3,\dotsc_t\text{-el}$. Mivel a gráf egyszerű így
+    számát jelöljük $c_1,c_2,c_3,\dotsc,c_t\text{-el}$. Mivel a gráf egyszerű így
     minden $c_i\text{-re}$ teljesül,hogy $c_i\geq 3$. Nyilvánvaló, hogy egy él
     legfeljebb két tartomání határához tartozik,tehát ha összegezzük a határoló élek
     számát akkor legfeljebb egy élet kétszer számolunk. Így az alábbi egyenletet
@@ -297,8 +297,12 @@
     A $K_{3,3}$ nem tartalmaz 3 hosszú utat, így alkalmazható a [[*Becslés az élek
     számára háromszögmentes gráfban]] tétel.A $K_{3,3}\text{-nak}$ 6 csúcsa és 9 éle
     van: $9>2\cdot6-4=8$,ez  ellentmondás,azaz a $K_{3,3}$ sem rajzolható síkba.
-** TODO Síkbabarjzolható gráfok dualitása
-
+** Síkbabarjzolható gráfok dualitása
+   Minden síkbarajzolható $G$ gráfból, létrehozhatunk egy $G^*$ gráfot a következő eljárás alapján:
+   - $G$ minden tartományához,rendelünk egy $G^*\text{-beli}$ csúcsot
+   - Két csúcsot akkor kötünk össze,ha a megfelelő tartományoknak,van közös
+     határéle
+$G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba alakíthatóak.
 * Euler- és Hamilton körök $\protect \footnote{ \cite{kv} alapján.}$
 ** Definíció
    A $G$ gráf Euler-körének nevezünk egy zárt élsorozatot, ha az élsorozat pontosan
@@ -312,7 +316,7 @@
     Először belátjuk,hogy ha egy gráfban van Euler-kör,akkor minden pont foka
     páros. Induljunk ki először egy tetszőleges csúcsból és járjuk be az Euler-köre
     mentén. Vegyük észre,hogy minden csúcsba, annyiszor ''megyünk be'', ahányszor
-    kimegyünk belőle,így a ''kilépések'' és a ''belépések'' számának összege éppen a
+    ''kimegyünk'' belőle,így a ''kilépések'' és a ''belépések'' számának összege éppen a
     csúcs fokszáma. Ez így pedig biztosan páros.
 
     A másik irányt(ha minden csúcs foka páros,akkor van Euler-kör) indukcióval
@@ -372,8 +376,8 @@
     Hamilton-kör. Vegyünk hozzá a gráfhoz éleket,úgy hogy
     továbbra se legyen benne Hamilton-kör. Ezt egészen addig csináljuk,amíg már nem
     tudunk több ilyen élet hozzávenni. Az így kapott $G'$ gráfra továbbra is
-    teljesül a kezdeti feltétel. Biztosan van benne két olyan pont,hogy ${x,y}\notin
-    E(G')$. Ekkor $G'+{x,y}$ gráfban már van egy Hamilton-kör, és Hamilton-út
+    teljesül a kezdeti feltétel.Ekkor biztosan van benne két olyan pont,hogy ${x,y}\notin
+    E(G')$ és $G'+{x,y}$ gráfban már van egy Hamilton-kör, és Hamilton-út
     is. Legyen ez $P=(z_1,z_2,\dots,z_n)$,ahol $z_1=x$ és $z_n=y$.
 
     Ha $x$ szomszédos a $P$ út valamely $z_k$ csúcsával,akkor $y$ nem lehet
@@ -411,8 +415,41 @@
 ** Tétel(Zykov konstrukciója)
    Minden $k\geq2$ esetén létezik olyan $G_k$ gráf, amire $\omega(G_k ) = 2$ és
    $\chi(G_k ) = k$.
-*** TODO Bizonyítás
-    *NEM, KÖSZÖNÖM MÁR JÓLLAKTAM!*
+*** Bizonyítás
+    - $G_2$,azaz $k=2\text{-re}$ elég a $K_2$ gráfot megvizsgálni
+    - A továbbiakban $G_k$ megadásához rekurziót használunk:
+      * Induljunk ki pl $G_3$ (egy 5 hosszú) ebből megkaphatjuk $G_$k\text{-t}$
+	tetszőleges $k\text{-ra}$ (természetesen $k \geq 3$)
+      * Tegyük fel,hogy $G_k=(V,E)$ gráfban már adott,hogy $\omega(G_k)=2$ és $\chi(G_k)=k$.
+      * Vegyük $G_k\text{-nak}$ $k$ darab diszjunkt példányát,azaz ''másoljuk le'' a
+	$V$ csúcshalmazt $k\text{-szor}$
+      * Az így kapott csúcshalmazokat $V_1,V_2,\ldots,V_k$ jelöli.
+      * Minden $V_i$ halmazban,azokat a csúcsokat kössük,össze mint amik eredetileg is
+	össze voltak kötve
+      * Ezen kívül $V_1,V_2,\ldots,V_k$ csúcshalmazok közül, válasszuk ki egyet-egyet
+	az összes lehetséges módon. Ezekhez vegyünk fel egy új csúcsot, és kössük
+	össze a kiválasztott csúcsokkal
+      * Az így kapott gráfot jelöljük $G_{k+1}\text{-el}$
+    - Jelölje a $V-i\text{-kből}$ kiválasztott $\text{csúcs-}k\text{-asokból}$
+      létrejött $G_{k+1}\text{-beli}$ csúcsok halmazát $Z$
+    - Megmutatjuk hogy $\omega(G_k)=2$
+      * Tudjuk hogy $\omega(G_k)=2$, és minden $V_i$ halmaz $G_k\text{-val}$
+	izomorfak. Ebben tehát biztosan nincs háromszög.
+      * $Z\text{-beli}$ csúcsok sem alkothatnak háromszöget,hiszen különböző
+	$V_i\text{-kbeli}$ csúcsokkal van összekötve
+    - Belátjuk,hogy $G_{k+1}$ kiszínezhető $k+1$ színnel
+      * Tudjuk,hogy $G_k$ legalább $k$ színnel színezhető csak ki és $\forall V_i$
+	izomorf $G_k\text{-val}$
+      * Színezzük ki tehát $V_i\text{-ket}$ ugyanazzal a $k$ színnel
+      * A $Z\text{-beli}$ csúcsokat színezzük ki $(k+1)\text{-edik}$ színnel.
+      * Mivel $Z$ csúcsai között nem futnak élek így ez egy helyes színezés
+    - Meg kell mutatnunk,hogy $G_{k+1}$ nem színezhető ki $k$ színnel
+      * Válasszuk $V_1\text{-ből}$ egy $1$. színű $v_1$ csúcsot, $V_2\text{-ből}$
+	egy $2$. színű csúcsot, stb.
+      * Most vegyük az ezekkel összekötött $z \in Z$ csúcsot. Ez nem színezhető ki
+	$k$ szín egyikével sem,hiszen minden $k$ színnel szomszédos
+      * Ekkor $z$ csak egy $(k+1)\text{-edik}$ színnel színezhető ki
+
 ** Állítás
    Legyen $G$ (hurokélmentes) gráf és jelölje $\Delta(G)$ a $G$ -beli maximális
    fokszámot (vagyis a $G$ -beli csúcsok fokszámai közül a legnagyobbat). Ekkor a
@@ -594,11 +631,30 @@
    A $G$ gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha a csúcsok minden
    $X\subseteq V(G)$ részhalmazára $c_p (G - X) \leq |X|$ teljesül.
 
+
    Más szóval: pontosan akkor létezik teljes párosítás $G$ gráfban,ha
    $G\text{-ből}$ bárhogyan $k$ darab csúcsot elhagyva a kapott gráfban páratlan
    sok csúcsú komponenseinek száma legfeljebb $k$. 
-
-*** TODO Bizonyítás
+*** Jelölések
+**** $G-X$: Az a gráf,amelyet $G\text{-ből}$ az $X$ csúcsai és arra illeszkedő élei elhagyásával kapunk.
+**** $c_p(H)$: $H$ páratlan sok csúcsot tartalmazó komponenseinek száma
+*** Bizonyítás
+    - Tegyük fel,hogy $G\text{-ben}$ $\exists$ teljes párosítás.
+    - Megmutatjuk,hogy $c_p (G - X) \leq |X|$ ekkor teljesül
+    - Rögzítsünk $G\text{-ben}$ egy $M$ teljes párosítást
+    - Vegyünk egy tetszőleges $X \subseteq V(G)$ részhalmazt, és hagyjuk el $G\text{-ből}$
+    - Tegyük fel, hogy ez után $l$ darab páratlan komponens jön létre: $C_1,C_2,\ldots,C_l$
+    - Válasszunk ki egy $C_i$ páratlan komponenst $G\text{-ben}$
+    - Figyeljük meg,hogy $C_i$ minden csúcsához tartozik egy $M\text{-beli}$
+      él,hiszen $M$ teljes párosítás.
+    - Mivel $C_i$ páratlan kell legyen legalább egy $C_i\text{-n}$ beli csúcs,amit egy
+      $M\text{-beli}$ él $C_i\text{-n}$ kívüli ponttal köt össze
+    - Minden $C_i\text{-hez}$ válasszunk egy ilyet, és jelöljük $v_i\text{-vel}$
+    - Ekkor minden $v_i \in X$,hiszen $C_i$ külön komponenst alkot $X$ elhagyása
+      után, és mivel $M$ teljes párosítás, így minden $v_i$ különböző
+    - Ezzel beláttuk,hogy $X\text{-nek}$ legalább $c_p(G-X)=l$ csúcsa van.($|X|$
+      tartalmazhat ennél több pontot is,csak azok nem hoznak létre több páratlan
+      csúcsú komponenst)
 
 * Párosítások $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
 ** Párosítások páros gráfokban