From 2f15e9dd1192f5f8075e3d494eb1431ddbac59ee Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Bazsalanszky Date: Wed, 10 Jun 2020 15:51:54 +0200 Subject: [PATCH] Added some proofs --- bsz2.org | 177 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------- template.tex | 4 +- 2 files changed, 157 insertions(+), 24 deletions(-) diff --git a/bsz2.org b/bsz2.org index ddcc1d8..b92d504 100644 --- a/bsz2.org +++ b/bsz2.org @@ -80,8 +80,14 @@ vagy csűcsoknak, E elemeit pedig éleknek nevezzük. Olyan gráf,amely nem tartalmaz hurok- és párhuzamos éleket. ** Részgráf $G'(V',G')$ gráf részgráfja $G(V,E)$ -nek,ha $V'\leq V$,$E'\leq E$ és minedn $E'$ -beli él végpontja $V'$ elemei. +** Feszített részgráf +$G'(V',E')$ feszített részgráfja $G(V,E)\text{-nek}$, ha $V'\leq V$ és $E'$ az +összes $E\tex{-beli}$ él,ami a $V'\text{-beli}$ csúcsok között fut. ** Állítás A fokok összege az élek számának kétszerese. +*** Bizonyítás +Amikor a fokok számát öszegezzük,minden pontra megszámoljuk a hozzá illeszkedő +éleket. Mivel minden élnek két végpontja van, így minden élet pontosan kétszer számolunk. ** Teljes gráf Bármely két különböző csúcs össze van kötve. ** Komplementer gráf @@ -101,29 +107,168 @@ Két gráf akkor összefüggő ha bármely két csúcsa közt létezik élsoroza Összefüggő feszített részgráf,amelyből nem emgy ki él.Nem bővíthető tovább összefüggő pontal. ** Állítás Ha $G$ egy $n$ csúcsú összefüggő gráf, akkor minimum $n-1$ éle van. -** Definíció +*** Bizonyítás +Legyen kezdetben $n$ izolált pont($n$ komponens). Kössünk össze kettőt csúcsot egy +éllel, ekkor $n-1$ komponensből fog állni. Folytatjuk a különböző komponensek +összekötését addig,amíg 1 összefüggő gráfunk nem lesz. Ez az algoritmus $n-1$ +lépés után megáll,tehát $n-1$ élt húzott be,ezzel bizonyítva az állítást. +** Fa Az összefüggő, körmentes gráfokat fának nevezzük. ** Tétel +Minen legalább 2 pontú fában van legalább két első fokú pont. +*** Bizonyítás +Legyen a fában a leghoszabb út a $v_1,v_2,\dots,v_k$ csúcsokból álló. Belátjuk, +hogy mindkét végpont elsőfokú. + +Tegyük fel hogy $v_k$ nem elsőfokú ,azaz vezet belőle egy él a fa valamely +pontjába. Az út többi pontjába nem vezethet,hiszen akkor kört alkotna. Ha pedig +egy új $v_{k+1}$ pontba vezet az él, akkor az eredeti út nem a leghoszabb lenne, +ez pedig ellentmondás. +** Tétel Minden $n$ csúcsú fának pont $n-1$ éle van. *** Bizonyítás -Teljes indukcióval bizonyítjuk. $n=2\text{-re}$ triviálisan teljesül. Tegyük fel -hogy az állítás igaz minden $ns(e_0)$,akkor az algoritmus $e$ helyett $e_0\text{-t}$ választotta +volna. Így $s(e)\leq s(e_0)$,minden $e\in E(C)\text{-re}$. Mivel $F_0-e_0$ két +komponensből áll, kell lennie egy $e_1\in E(C)-{e_0}\subseteq E(F)$ élnek,amely +két végpontja $F_0-e_0$ két különböző komponenséhez tartozik. Nyilvánvaló,hogy +$F_1=(F_0-e_0)\cup{e_1}$ is feszítő fa, és tudjuk,hogy +$s(e_1)\leq(e_0)$. $s(e_1)<(e_0)$ azonban nem lehet,hiszen akkor $F_0$ nem lenne +minimális,tehát csak $s(e_1)=(e_0)$ lehet igaz. Ekkor viszont $F_1$ egy olyan +ellenpélda lenne,melynek egyel több közös éle van,mint $F\text{-el}$,mint +$F_0\text{-nak}$. Ez pedig ellentmond a feltevésnek. +* Gráfok síkbarajzolhatósága $\protect \footnote{ \cite{kv} alapján.}$ +** Definíció +Ha egy gráf lerajzolható a síkba úgy, hogy az élei ne messék egymást, akkor a +gráf síkbarajzolható. A síkbarajzolt gráf a síkot tartományokra +osztja. Hasonlóan definiáljuk a gömbre rajzolható gráfot. +** Tétel +Egy $G$ gráf pontosan akkor síkbarajzolható, gömbre rajzolható. +*** Bizonyítás +Egy síkban levő gráf leképezhető egy gömbfelületre oly módon, +hogy ezt a gömbfelületet valamelyik pontjával a síkra helyezzük, az érintkezési pon- +tot tekintjük a gömbfelület déli pólusaként, és az északi pólusból, mint vetítési pont- +ból oly egyenes vonalakat húzunk, amelyek a síkban levő gráf minden egyes pontját +összekötik az északi pólussal. Ezeknek a vonalaknak egy-egy további metszéspontja +van a gömbfelülettel, ezek szolgáltatják a kívánt vetítést. Ez az ún. sztereografikus +projekció. Ez az eljárás megfordítható, ha az északi pólus nem pontja a gráfnak és +nem halad át rajta él, így a gömbre rajzolt gráfok is leképezhetők a síkba. +** Euler Tétel(Euler formula) +Ha egy összefüggő síkbeli gráfnak $n$ csúcsa, $e$ éle és $t$ tartománya van +(beleértve a külső, nem korlátos tartományt is), akkor eleget tesz az +Euler-formulának: $n-e+t = 2$. +*** Bizonyítás +Tekintsük a gráf egy $C$ körét és ennek egy $a$ élét. A $C$ kör síkot két +tartományra bontja. Ezeket más élek további tartományokra bonthatják,de mindkét +részben van egy-egy olyan tartomány,amely $a$ határa. Ha $a\text{-t}$ elhagyjuk +a két tartomány egyesül,azaz a tartományok száma egyel csökken. Ezzel $n-e+t$ +értéke nem változik ($n-(e-1)+(t-1)=n-e+1+t-1=n-e+t$). Ezt az eljárást addig +folytatjuk amíg van a gráfban kör. Ezzel egy feszítőfát kapunk. Ezzel viszont +az állítás triviális,hiszen $t=1 \text{ és } e=n-1 \implies n-(n-1)+1=2 +\Rightarrow 2=2$. +** Becslés az élek számára egyszerű gráfban +Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf és pontjainak száma legalább 3, akkor az +előbbi jelölésekkel $e\leq3n-6$. +*** Bizonyítás +Vegyük $G$ egy tetszőleges síkbarajzolását, és a tartományokat határoló élek +számát jelöljük $c_1,c_2,c_3,\dotsc_t\text{-el}$. Mivel a gráf egyszerű így +minden $c_i\text{-re}$ teljesül,hogy $c_i\geq 3$. Nyilvánvaló, hogy egy él +legfeljebb két tartomání határához tartozik,tehát ha összegezzük a határoló élek +számát akkor legfeljebb egy élet kétszer számolunk. Így az alábbi egyenletet +írhatjuk fel: +\begin{align} +3t\leq c_1 + c_2 + c_3 + \dots c_t &\leq 2e \\ +\text{Az Euler-formulát felhasználva} \\ +3(e-n+2)&\leq 2e \\ +e\leq 3(n-2)&= 3n+6 +\end{align} +** Tétel +Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf, minden körének a hossza legalább 4 és +pontjainak száma legalább 4, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq 2n-4$. +*** Bizonyítás +Az [[*Becslés az élek számára egyszerű gráfban][elző tételhez]] hasonlóan bizonyítható,de itt minden tartományt legalább 4 él +határol. Így $4t\leq2e \implies e \leq 2n-4$ +** Definíció +A $G$ és $H$ gráfok topologikusan izomorfak, ha a következő transzformációk +ismételt alkalmazásával izomorf gráfokba traszformálhatóak: +- Egy élet egy 2 fokú csúcs felvételével kettő részre bontunk +- Egy 2 fokú csúcsra illeszkedő éleket egybeolvasztunk +** Tétel +Egy gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, +amely topologikusan izomorf $K_{3,3}\text{-mal}$ vagy $K_5\text{-tel}$. +*** Bizonyítás +Elvileg csak a könnyebbik irányban kell,de azt sem találtam $\mathcal{XD}$. +** Síkbabarjzolható gráfok dualitása + * Euler- és Hamilton körök $\protect \footnote{ \cite{kv} alapján.}$ ** Definíció A $G$ gráf Euler-körének nevezünk egy zárt élsorozatot, ha az élsorozat pontosan egyszer tartalmazza $G$ összes élét. Ha az élsorozat nem feltétlenül zárt\footnote{tehát nem ugyanaz a kezdő- és végpontja}, akkor Euler-utat kapunk. ** Tétel -Egy összefüggő $G$ gráfban akkor és csak akkor van Euler-kör, ha $G$ minden pontjának fokszáma páros. +Egy összefüggő $G$ gráfban akkor és csak akkor van Euler-kör, ha $G$ minden +pontjának fokszáma páros. +*** Bizonyítás ** Tétel Egy összefüggő $G$ gráfban akkor és csak akkor van Euler-út, ha $G$ -ben a páratlan fokú pontok száma $0$ vagy $2$. ** Definíció @@ -134,17 +279,6 @@ Ha a G gráfban létezik $k$ olyan pont, amelyeket elhagyva a gráf több mint $ Ha az n pontú G gráfban minden olyan $x, y \in V (G)$ pontpárra, amelyre ${x, y} \in E(G)$ teljesül az is, hogy $d(x) + d(y) \geq n$, akkor a gráfban van Hamilton-kör. ** Tétel(Dirac) Ha egy n pontú G gráfban minden pont foka legalább $n/2$, akkor a gráfban létezik Hamilton–kör. -* Gráfok síkbarajzolhatósága $\protect \footnote{ \cite{kv} alapján.}$ -** Definíció -Ha egy gráf lerajzolható a síkba úgy, hogy az élei ne messék egymást, akkor a gráf síkbarajzolható. A síkbarajzolt gráf a síkot tartományokra osztja. Hasonlóan definiáljuk a gömbre rajzolható gráfot. -** Tétel -Euler formula: Ha egy összefüggő síkbeli gráfnak $n$ csúcsa, $e$ éle és $t$ tartománya van (beleértve a külső, nem korlátos tartományt is), akkor eleget tesz az Euler-formulának: $n-e+t = 2$. -** Tétel -Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf és pontjainak száma legalább 3, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq3n-6$. -** Tétel -Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf, minden körének a hossza legalább 4 és pontjainak száma legalább 4, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq2n-4$. -** Tétel -Egy gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, amely topologikusan izomorf $K_{3,3}$ -mal vagy $K_5$ -tel. * Gráfok színezése $\protect \footnote{ \cite{hj} alapján.}$ ** Definíció Legyen $G$ egy gráf és $k\geq1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel színezhető, ha a $G$ minden csúcsa kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$ bármely két szomszédos csúcsának a színe különböző. A $G$ kromatikus száma $k$, ha @@ -361,4 +495,3 @@ $e\in E(G)$ élre és \bibentry{Szeszlér Dávid, }{(2019)}{Bevezetés a Számításelméletbe 2 - Ideiglenes egyetemi jegyzet a koronavírus járvány idején zajló távoktatáshoz, }{Budapest, }{\url{http://cs.bme.hu/bsz2/bsz2_jegyzet.pdf}}{}{} \end{thebibliography} - diff --git a/template.tex b/template.tex index e0cb6fc..b24d17d 100644 --- a/template.tex +++ b/template.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \usepackage{t1enc} \usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[magyar,english]{babel} +\usepackage[magyar]{babel} \usepackage{times} \usepackage{amsfonts} @@ -343,7 +343,7 @@ v {#5}%%others -\usepackage{tkz-berge} + \usepackage{mathtools} \DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}