Bazsalanszky/bsz2-org
1
0
Fork 0
Code Issues Pull requests Releases Wiki Activity

Kisebb hibák javítása

Browse source
This commit is contained in:
Bazsalanszky 2020-06-17 22:23:41 +02:00
parent 3ef9a30162
commit 88b2dc59b8
Signed by: Bazsalanszky
GPG key ID: 1B0B72C7139E2884
1 changed files with 48 additions and 43 deletions
Show stats Download patch file Download diff file Expand all files Collapse all files

91
bsz2.org
View file

@ -1,4 +1,4 @@
#+TITLE: Bevezetés a számelméletbe 2 Spellbook
#+TITLE: Bevezetés a számelméletbe 2 Spellbook
#+AUTHOR: Toldi Balázs Ádám
#+LaTeX_HEADER: \include{template}
#+LaTeX_HEADER: \usepackage{bbm}
@ -269,7 +269,7 @@
3t\leq c_1 + c_2 + c_3 + \dots c_t &\leq 2e \\
\text{Az Euler-formulát felhasználva} \\
3(e-n+2)&\leq 2e \\
e\leq 3(n-2)&= 3n+6
e\leq 3(n-2)&= 3n-6
\end{align}
** Becslés az élek számára háromszögmentes gráfban
Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf, minden körének a hossza legalább 4 és
@ -369,25 +369,26 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
Hamilton-útból elhagyunk $k$ pontot, legfeljebb $k+1$ összefüggő marad.
** Tétel(Ore)
Ha az $n$ pontú $G$ gráfban minden olyan $x, y \in V (G)$ pontpárra, amelyre
${x, y} \notin E(G)$ \footnote{Tehát szomszédosak} teljesül az is, hogy $d(x) + d(y) \geq
$\{x, y\} \notin E(G)$ \footnote{Tehát szomszédosak} teljesül az is, hogy $d(x) + d(y) \geq
n$, akkor a gráfban van Hamilton-kör.
*** Bizonyítás
Indirekten tegyük fel,hogy a gráf kielégíti a feltételt,de nincs benne
Hamilton-kör. Vegyünk hozzá a gráfhoz éleket,úgy hogy
továbbra se legyen benne Hamilton-kör. Ezt egészen addig csináljuk,amíg már nem
tudunk több ilyen élet hozzávenni. Az így kapott $G'$ gráfra továbbra is
teljesül a kezdeti feltétel.Ekkor biztosan van benne két olyan pont,hogy ${x,y}\notin
teljesül a kezdeti feltétel.Ekkor biztosan van benne két olyan pont,hogy
$\{x,y\} \notin
E(G')$ és $G'+{x,y}$ gráfban már van egy Hamilton-kör, és Hamilton-út
is. Legyen ez $P=(z_1,z_2,\dots,z_n)$,ahol $z_1=x$ és $z_n=y$.
Ha $x$ szomszédos a $P$ út valamely $z_k$ csúcsával,akkor $y$ nem lehet
összekötve $z_{k-1}$ csúccsal,hiszen akkor
$(z_1,\dots,z_{k-1,z_n,z_{n-1},\dots,z_k,z_1}$ egy Hamilton-kört alkotna. Így
$(z_1,\dots,z_{k-1},z_n,z_{n-1},\dots,z_k,z_1)$ egy Hamilton-kört alkotna. Így
tehát $y$ nem lehet szomszédos legalább $d(x)$ darab csúccsal, ezért
\begin{align}
d(y)&\leq n-1-d(x)
\end{align}
ami viszont ellentmondás,mert ${x,y}\notin E(G)$.
ami viszont ellentmondás,mert $\{x,y\}\notin E(G)$.
** Tétel(Dirac)
Ha egy n pontú G gráfban minden pont foka legalább $n/2$, akkor a gráfban
létezik Hamilton–kör.
@ -472,11 +473,11 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
zárt) intervallumok, hogy $G$ ezekből megkapható a következő módon: $G$ csúcsai
megfelelnek az intervallumoknak és két különböző csúcs pontosan akkor szomszédos
$G$ -ben, ha a két megfelelő intervallumnak van közös pontja. Ilyenkor azt
mondjuk, hogy az ${I_1,I_2 ,\dots, I_n }$
mondjuk, hogy az $\{I_1,I_2 ,\dots, I_n \}$
** Tétel
Legyen $G$ intervallumgráf és tegyük fel, hogy $G$ -t az ${I_1 , I_2 ,\dots, I_n }$
intervallumrendszer reprezentálja. Ekkor ha az ${I_1 ,I_2,\dots, I_n }$
Legyen $G$ intervallumgráf és tegyük fel, hogy $G$ -t az $\{I_1 , I_2 ,\dots, I_n \}$
intervallumrendszer reprezentálja. Ekkor ha az $\{I_1 ,I_2,\dots, I_n \}$
intervallumokat a baloldali végpontjuk szerinti növekvő sorrendbe rendezzük és
$G$ csúcsainak erre a sorrendjére hajtjuk végre a mohó színezést, akkor az
eljárás $G$ -t optimális számú, $\chi(G)$ színnel színezi meg.
@ -566,8 +567,8 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
Legyen $H\subseteq V(G)\text{ és } \overline{H}=V(G)/H$
csúcshalmazok. Megmutatjuk hogy $H$ pontosan akkor lefogó ponthalmaz,ha
$\overline{H}$ független ponthalmaz. Az,hogy $H$ lefogó ponthalmaz, az azt
jelenti,hogy $G$ gráfnak minden ${u,v}$ élére $u\in H$ és/vagy $v\in H$
teljesül. Tehát, nincs olyan ${u,v}$ él,hogy $u\in \overline{H}$ és $v\in
jelenti,hogy $G$ gráfnak minden $\{u,v\}$ élére $u\in H$ és/vagy $v\in H$
teljesül. Tehát, nincs olyan $\{u,v\}$ él,hogy $u\in \overline{H}$ és $v\in
\overline{H}$. Ez pedig pontosan azt jelenti,hogy $\overline{H}$ független
ponthalmaz.
@ -693,23 +694,23 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
Ekkor $G$ -nek nincs olyan éle, amely $A_1 \cup A_2$ és $B_1 \cup B_3$ között
vezet.
*** Bizonyítás
Indirekt módon feltesszük, hogy mégiscsak létezik olyan ${a,b}$ él,hogy $a\in
Indirekt módon feltesszük, hogy mégiscsak létezik olyan $\{a,b\}$ él,hogy $a\in
A_1\cup A_2$ és $b\in B_1\cup B_3$. Ez összesen négy esetet jelent.
Ha $a\in A_1$ és $b\in B_1$, az azt jelentené,hogy létezne egy javítóút
Ha $a \in A_1$ és $b\in B_1$, az azt jelentené,hogy létezne egy javítóút
$a\text{-ból}$ $b\text{-be}$, ez viszont ellentmondás.
Ha $a\in A_1$ és $b\in B_3$, ekkor $a\text{-ból}$ eljuthatnánk $b\text{-be}$,
Ha $a \in A_1$ és $b\in B_3$, ekkor $a\text{-ból}$ eljuthatnánk $b\text{-be}$,
ahonnan a $b\text{-re}$ illeszkedő $M\text{-beli}$ élen át egy $A_3\text{-beli}$
csúcsba jutnánk egy kétélű alteráló úton. Ez lehetetlen, hiszen $A_3\text{-be}$
nem vezethet alteráló út.
Ha $a\in A_2$ és $b\in B_1$, ekkor $a$ pontba vezet egy $P$ alteráló
Ha $a \in A_2$ és $b\in B_1$, ekkor $a$ pontba vezet egy $P$ alteráló
út. $b\text{-el}$ kiegészítve a $P$ utat,egy javító utat kapnánk,ami
ellentmondás.
Ha $A_in A_2$ és $b\in B_3$, akkor létezik egy $P$ alteráló út $a\text{-ba}$. Ha
ezt kiegészítjük az ${a,b}$ éllel és a $b\text{-re}$ illeszkedő $M\text{-beli}$
Ha $a \in A_2$ és $b\in B_3$, akkor létezik egy $P$ alteráló út $a\text{-ba}$. Ha
ezt kiegészítjük az $\{a,b\}$ éllel és a $b\text{-re}$ illeszkedő $M\text{-beli}$
éllel, akkor a $P\text{-nél}$ kettővel hosszabb $P'$ alteráló utat kapunk. Ez
ellentmondás,hiszen $A_3\text{-be}$ nem vezethet alteráló út.
** Tétel
@ -726,7 +727,7 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
\nu(G)=k$,így $M$ tényleg maximális párosítás.
Azt állítjuk hogy a [[#lemma1]] jelölései szerint $X=A_3\cup B_2$ lefogó
ponthalmaz $G\text{-ben}$. Legyen $e={a,b}$ egy tetszőleges él,ahol $a\in A$ és
ponthalmaz $G\text{-ben}$. Legyen $e=\{a,b\}$ egy tetszőleges él,ahol $a\in A$ és
$b\in B$. Ha $a\in A_3$,akkor $e$ egyik végpontja $X\text{beli}$, ha viszont
$a\in A_2\cup A_3$,akkor a [[#lemma1]] lemma szerint $b\in B_2$,így $X$ ebben az
esetben is lefogja $e\text{-t}$
@ -752,7 +753,7 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
$A$ -nak. Ekkor az $X$ szomszédságának nevezzük és $N(X)$ -szel jelöljük a $B$
-nek azt a részhalmazát, amely azokból a $B$ -beli csúcsokból áll, amelyeknek
van (legalább egy) szomszédja $X$ -ben. Képletben:
$$N(X) = \{b\in B : \exists a \in X, {a, b} \in E(G) \}$$
$$N(X) = \{b\in B : \exists a \in X, \{a, b\} \in E(G) \}$$
** Tétel(Hall tétele)
A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A\text{-t}$ lefedő
párosítás, ha minden $X\subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
@ -764,7 +765,7 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
$\exists A\text{-t}$ lefedő párosítás. Tegyük fel indirekt módon.Futtassuk le a
javító utas algoritmust végig. Ekkor nem létezik $A\text{-t}$ fedő párosítás,
így $A_1\neq\varnothing$.Ezért $N(A_1\cup A_2)=B_2$ lemma miatt. Ha viszont ez
$X=A_1\cup A_2$,akkor $|X|>N(X)=B2$ (Hiszen $|B_2|=|A_2|$ és $A_1\neq\varnothing$),ami ellentmondás.
$X=A_1\cup A_2$,akkor $|X|>N(X)=B_2$ (Hiszen $|B_2|=|A_2|$ és $A_1\neq\varnothing$),ami ellentmondás.
*** Következmény (Frobenius tétele)
A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha
$|A| = |B|$ és minden $X \subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
@ -794,11 +795,11 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
színe különböző. A $G$ élkromatikus száma $k$, ha $G$ $k$ színnel élszínezhető,
de $(k - 1)$ -gyel már nem. G élkromatikus számának a jele: $\chi_e(G)$.
** Állítás
** Állítás
Minden (hurokélmentes) $G$ gráfra $\Delta(G) \leq\chi_e(G)$ teljesül.
*** Bizonyítás
Legyen $v$ egys $\Delta(G)$ fokú csúcs. Ekkor a $v\text{-re}$ illeszkedő éleket
csak $\Delta(G)$ darab különböző színt kell használnia. Így G minden élszínezése
csak $\Delta(G)$ darab különböző színnel színezhető ki. Így $G$ minden élszínezése
legalább $\Delta(G)$ színből áll.
** Vizing tétele
Minden G *egyszerű* gráfra $\chi_e(G) \leq \Delta(G) + 1$ teljesül.
@ -817,7 +818,7 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
pontal, hogy egyenlőek legyenek
- Ezután kiegészítjük új élekkel addig,amíg minden csúcsa $k$ fokú nem
lesz,ahol $k=\Delta(G)$.
- Ez minden esetben lehetséges lesz,hiszen $|A|=|B|$ és A csúcsainak összege
- Ez minden esetben lehetséges lesz,hiszen $|A|=|B|$ és A csúcsainak fokának összege
mindig egyenlő $B$ csúcsainak fokának összgével
- Az így kapott $G'$ gráf kiszínezhető $k$ darab színnel (hiszen
$k\text{-reguláris}$)
@ -844,7 +845,7 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
A $(G, s,t, c)$ hálózatban adott $f$ folyam $m_f$ -fel jelölt értéke:
\begin{equation}
m_f=\sum_{e:
s\rightarrow}^{} f(e)=\sum_{e:s\leftarrow}^{} f(e)
s\rightarrow}^{} f(e)-\sum_{e:s\leftarrow}^{} f(e)
\end{equation}
** Definíció
Legyen $f$ folyam a $(G, s,t, c)$ hálózatban. Ekkor az $f$ -hez tartozó $H_f$
@ -856,7 +857,7 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
a $H_f$ élhalmazába is bekerül; az ilyen élek neve előreél.
- Ha $e = (u, v)$ olyan éle $G$ -nek, amelyre $f (e) > 0$, akkor $e$
megfordítása, az $e0 = (v, u)$ él kerül be $H_f$ élhalmazába; az ilyen élek
megfordítása, az $e' = (v, u)$ él kerül be $H_f$ élhalmazába; az ilyen élek
neve pedig visszaél.
** Definíció
@ -883,7 +884,7 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
Most adjuk össze ezt az $|X|$ darab egyenletet. A bal oldalon $m_f$ fog állni. A
jobb oldalon meg kell vizsgálnunk minden $e$ élre,hogy hányszor és milyen
előjellel jelennek meg. Ehhez válasszunk ki egy tetszőleges $e={u,v}$ élt. Mivel
előjellel jelennek meg. Ehhez válasszunk ki egy tetszőleges $e=\{u,v\}$ élt. Mivel
$u$ és $v$ lehet $X\text{-beli}$ vagy $X\text{-en}$ kívüli így 4 esetet kell
vizsgálnunk:
@ -1000,15 +1001,21 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
:END:
Legyen adott a $G$ irányított gráf, annak az $s,t \in V (G)$ különböző csúcsai
és a $k \geq1$ egész. Ekkor az alábbi állítások ekvivalensek:
1. Létezik $G$ -ben $k$ éldiszjunkt irányított út $s$ -ből $t$ -be.
2. Nem létezik $G$ -ben legföljebb $k - 1$ élű, az $s\rightarrow t$ utakat
1. Létezik $G\text{-ben}$ $k$ éldiszjunkt irányított út $s$ -ből $t$ -be.
2. Nem létezik $G\text{-ben}$ legföljebb $k - 1$ élű, az $s\rightarrow t$ utakat
lefogó élhalmaz.
3. A $(G, s,t, 1)$ hálózatban a maximális folyam értéke $\geq k$
*** Bizonyítás
Megmutatjuk,hogy $1.\implies2.,2.\implies3,\text{ majd } 3.\implies1$.
**** $1.\implies2$.
Ezt már beláttuk [[#dilemma][egy korábbi lemmában]].
- Tegyük fel,hogy $G\text{-ben}$ $\exists$ $k$ darab $s \rightarrow t$
éldiszjunkt út: $P_1,P_2,\ldots,P_k$
- Legyen $Z$ tetszőleges $s \rightarrow t$ utakat lefogó élhalmaz.
- $Z$ minden útból tartalmaz élt,így minden $P_i\text{-ből}$ is($1\leq i \leq
k$) tartalmaz egy $e_i \in Z$ élt.
- Minden $e_i$ különböző,hisz különböző éldiszjunkt utak tartalmazzák
- Mivel $Z$ tartalmaz $k$ különböző élt,így $|Z|\geq k$, ezzel a $2$. állítást beláttuk
**** $2.\implies3$.
- Vegyünk egy tetszőleges $X$ vágást
- Azt állítjuk,hogy $c(X)\geq k \Longleftrightarrow X\text{-ből kimenő élek
@ -1037,7 +1044,7 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
**** $3.\implies1$.:
- Az [[*Egészértékűségi lemma][egészértékűségi lemma]] miatt $\exists$ olyan maximális folyam,amiy $d$
értékű és $\forall e \text{ élre } f(e)=0\lor f(e)=1$
- [[#dilemma]] lemma alapján $ \exists d$ darab éldiszjunkt út.
- [[#dilemma]] lemma alapján $\exists d$ darab éldiszjunkt út.
*** Következmény (Menger tétele éldiszjunkt utakra)
Minden $G$ (irányított vagy irányítatlan) gráfra és annak az $s,t \in V (G)$,
$s\neq t$ csúcsaira $\lambda_G (s,t) = \lambda_G' (s,t)$ teljesül.
@ -1049,7 +1056,7 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
az következik hogy $\lambda_G'(s,t)\geq k$. Mivel a 1. és 2. ekvivalensek,így
$\lambda_G(s,t)=\lambda_G'(s,t)$. Figyeljük meg,hogy ezzel nem vagyunk
készen,hiszen attól hogy egy $P$ út éldiszjunkt $H\text{-ban}$,nem jelenti
azt,hogy $G\text{-ben}$ is éldiszjunkt. Ez úgy oldható meg,hogy ha egy $e={u,v}$
azt,hogy $G\text{-ben}$ is éldiszjunkt. Ez úgy oldható meg,hogy ha egy $e=\{u,v\}$
élből készült $e_1=(u,v)$ és $e_2=(v,u)$ élekre fennáll az,hogy
$f(e_1)=f(e_2)=1$, akkor mindkét értéket változtassuk meg nullára. Ezzel egy
$f$ folyamot kaptunk,ahol $m_f$ maximális. Ezzel beláttuk a tételt.
@ -1108,7 +1115,7 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
tartalmazná a $(v_1,v_2)$ élt $H\text{-ban}$.
** Tétel
Legyen adott a $G$ *irányítatlan* gráf, az $s,t \in V (G)$ különböző csúcsok,
amelyekre ${s,t} \notin E(G)$ és a $k \geq 1$ egész. Ekkor az alábbi állítások ekvivalensek:
amelyekre $\{s,t\} \notin E(G)$ és a $k \geq 1$ egész. Ekkor az alábbi állítások ekvivalensek:
1. Létezik $G$ -ben $k$ pontdiszjunkt irányítatlan út $s$ -ből $t$ -be.
2. Nem létezik $G$ -ben legföljebb $k - 1$ csúcsú, az $s$ -ből $t$ -be vezető
irányítatlan utakat lefogó csúcshalmaz.
@ -1127,7 +1134,7 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
Az előző bekezdés és az [[#pdt][előző tétel]] bizonyításával belátható.
*** Következmény(Menger tétele pontdiszjunkt utakra)
Ha a $G$ (irányított vagy irányítatlan) gráfra és annak az $s,t \in V (G)$,
$s\neq t$ csúcsaira $(s,t)\notin E(G)$, illetve ${s,t} \notin E(G)$ teljesül (az
$s\neq t$ csúcsaira $(s,t)\notin E(G)$, illetve $\{s,t\} \notin E(G)$ teljesül (az
irányított, illetve az irányítatlan esetben), akkor$ $\kappa_G (s,t) = \kappa'_G (s,t)$.
**** $\kappa_G (s,t):=$ $s$ és $t$ közötti pontdiszjunkt utak maximális száma $G\text{-ben}$
**** $\kappa' (s,t):=$ A $G\text{-ben}$ $s\rightarrow t$ utakat lefogó pontok minimális száma
@ -1262,13 +1269,14 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
a $G$ irányított gráfban. Jelölje a futáshoz tartozó DFS-erdőt $F$. Legyen $e = (u, v)$
a $G\text{-nek}$ egy tetszőleges éle. Ekkor
1. $e\text{-t}$ faélnek nevezzük, ha $e \in E(F)$;
2. $e\text{-t}$ előreélnek nevezzük, ha nem faél, de $F$-ben van $u$ -ból $v$ -be irányított út
(vagyis $v$ „leszármazottja” $u$ -nak);
3. $e\text{-t}$ visszaélnek nevezzük, ha $F$ -ben van $v$ -ből $u$ -ba irányított út (vagyis $v$
„őse” $u$ -nak);
4. $e\text{-t}$ keresztélnek nevezzük, ha $F$ -ben sem $u$ -ból $v$ -be, sem $v$
-ből $u$ -ba nincs irányított út (vagyis $u$ és $v$ között nincs „egyenes ági
leszármazási viszony”).
2. $e\text{-t}$ előreélnek nevezzük, ha nem faél, de $F\text{-ben}$ van $u\text{-ból}$ $v\text{-be}$ irányított út
(vagyis $v$ ''leszármazottja'' $u$ -nak);
3. $e\text{-t}$ visszaélnek nevezzük, ha $F$ -ben van $v\text{-ből}$ $u\text{-ba}$ irányított út (vagyis $v$
''őse'' $u\text{-nak}$ );
4. $e\text{-t}$ keresztélnek nevezzük, ha $F$ -ben sem $u\text{-ból}$
$v\text{-be}$, sem $v\text{-ből}$ $u\text{-ba}$ nincs irányított út
(vagyis $u$ és $v$ között nincs ''egyenes ági
leszármazási viszony'').
** Tétel
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: dfs
@ -1466,6 +1474,3 @@ $G$ és $G^*$ egymás *duálisai*,hiszen ugyanezzel az eljárással egymásba al
\bibitem[2]{hj}
\bibentry{Szeszlér Dávid, }{(2019)}{Bevezetés a Számításelméletbe 2 - Ideiglenes egyetemi jegyzet a koronavírus járvány idején zajló távoktatáshoz, }{Budapest, }{\url{http://cs.bme.hu/bsz2/bsz2_jegyzet.pdf}}{}{}
\end{thebibliography}