Initial commit
This commit is contained in:
commit
d4985346d2
3 changed files with 724 additions and 0 deletions
7
.gitignore
vendored
Normal file
7
.gitignore
vendored
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,7 @@
|
|||
*~
|
||||
#*#
|
||||
auto/
|
||||
*.aux
|
||||
*.html
|
||||
*.pdf
|
||||
bsz2.tex
|
||||
364
bsz2.org
Normal file
364
bsz2.org
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,364 @@
|
|||
#+TITLE: Bevezetés a számelméletbe 2 Spellbook
|
||||
#+AUTHOR: Toldi Balázs Ádám
|
||||
#+LaTeX_HEADER: \include{template}
|
||||
* Kombinatorikus leszámlálási alapfeladatok
|
||||
** Permutáció
|
||||
*** Ismétlés nélküli permutáció
|
||||
$k$ különbőző dolog sorrenjeinek száma, ismétlés nélkül.
|
||||
Kiszámítása: $k!$
|
||||
*** Ismétléses permutáció
|
||||
$k$ különbőző dolog sorrenjeinek száma, ismétléssel.
|
||||
Kiszámítása: $\frac{(k_1+k_2+..+k_r)!}{k_1!k_2!...k_R!}$
|
||||
** Variáció
|
||||
*** Ismétlés nélküli variáció
|
||||
$n$ különbőző dologból választunk $k$ különbözőt és számít a sorrend.
|
||||
Kiszámítása:$\frac{n!}{(n-k)!}$
|
||||
*** Ismétléses variáció
|
||||
$n$ különbőző dolog közül választunk $k$ darab, nem feltétlenül különböző dolgot és számít hogy milyen sorrendben.
|
||||
Kitszámítása: $n^k$
|
||||
** Kombináció
|
||||
*** Ismétlés nélküli kombináció
|
||||
$n$ különböző dolog közül kiválasztunk $k$ darab különbőző dolgot sorrendtől függetlenül.
|
||||
Kiszámítása:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
n\\
|
||||
k
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
=\frac{n!}{(n-k)!k!}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\subsubsection*{Megjegyzés}
|
||||
A $\bigl( \begin{smallmatrix} n\\k \end{smallmatrix}\bigl)$ számokat binominális együtthatónak nevezzük.
|
||||
*** Ismétléses kombináció
|
||||
$n$ kükönböző dologból kiválasztunk $k$ darab, nem feltétlen különböző dolgot és a sorrend nem számít.
|
||||
Kiszámítása:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
(n-1)+k\\
|
||||
k
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
*** Fontos tudnivaló a binomiális együtthatókról
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
n\\
|
||||
k
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
n\\
|
||||
n-k
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
** Pascal-háromszög
|
||||
| $n=0$ | | | | | | | | 1 | | | | | | | |
|
||||
| $n=1$ | | | | | | | 1 | | 1 | | | | | | |
|
||||
| $n=2$ | | | | | | 1 | | 2 | | 1 | | | | | |
|
||||
| $n=3$ | | | | | 1 | | 3 | | 3 | | 1 | | | | |
|
||||
| $n=4$ | | | | 1 | | 4 | | 6 | | 4 | | 1 | | | |
|
||||
| $n=5$ | | | 1 | | 5 | | 10 | | 10 | | 5 | | 1 | | |
|
||||
| $n=6$ | | 1 | | 6 | | 15 | | 20 | | 15 | | 6 | | 1 | |
|
||||
|
||||
*** Elemei
|
||||
Minden $n$ sor, $k$. eleme megegyezik $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ -val.
|
||||
*** Binomiális tétel
|
||||
\begin{align}
|
||||
(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}a^i\cdot
|
||||
b^{n-i}\cdot \begin{pmatrix}n \\ i \end{pmatrix}
|
||||
\end{align}
|
||||
*** Tétel
|
||||
Minden $n$. sor elemeinek összege $2^n$.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
\begin{align}
|
||||
(1+1)^n=2^n=\sum_{i=0}^{n}1^i\cdot 1^{n-i}\cdot \begin{pmatrix} n \\ i\end{pmatrix} =\sum_{i=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}
|
||||
\end{align}
|
||||
* Gráfelméleti alapfogalmak
|
||||
** Gráf
|
||||
Egy gráf egy rendezett pár, $G=(V,E)$,ahol $V$ nem-üres halmaz elemeit pontoknak
|
||||
vagy csűcsoknak, E elemeit pedig éleknek nevezzük.
|
||||
** Egyszerű gráfok
|
||||
Olyan gráf,amely nem tartalmaz hurok- és párhuzamos éleket.
|
||||
** Részgráf
|
||||
$G'(V',G')$ gráf részgráfja $G(V,E)$ -nek,ha $V'\leq V$,$E'\leq E$ és minedn $E'$ -beli él végpontja $V'$ elemei.
|
||||
** Állítás
|
||||
A fokok összege az élek számának kétszerese.
|
||||
** Teljes gráf
|
||||
Bármely két különböző csúcs össze van kötve.
|
||||
** Komplementer gráf
|
||||
Ugyanazon pontokból áll, teljes gráf $ -$ gráf élei
|
||||
** Izomorf gráf
|
||||
Két gráfot akkor nevezünk izomorfnak, ha pontjaik és éleik kölcsönösen egyértelműen és illeszkedéstartóan megfeleltethetők egymásnak.
|
||||
** Élsorozat
|
||||
Egy $(v_0,e_1,v_1,e_2,v_2,\dots,e_n,v_n)$ sorozatot élsorozatnak nevezzük,ha
|
||||
minden $e_i$ a $v_{i-1}$ és $v_i$ csúcsot összekötő él.
|
||||
** Út
|
||||
Olyan élsorozat,amelyben minden csúcs különböző
|
||||
** Kör
|
||||
Olyan út,amelynek kezdőpontja és végpontja megegyezik
|
||||
** Összefüggő gráfok
|
||||
Két gráf akkor összefüggő ha bármely két csúcsa közt létezik élsorozat/út
|
||||
** Komponens
|
||||
Összefüggő feszített részgráf,amelyből nem emgy ki él.Nem bővíthető tovább összefüggő pontal.
|
||||
** Állítás
|
||||
Ha $G$ egy $n$ csúcsú összefüggő gráf, akkor minimum $n-1$ éle van.
|
||||
** Definíció
|
||||
Az összefüggő, körmentes gráfokat fának nevezzük.
|
||||
** Tétel
|
||||
Minden $n$ csúcsú fának pont $n-1$ éle van.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
Teljes indukcióval bizonyítjuk. $n=2\text{-re}$ triviálisan teljesül. Tegyük fel
|
||||
hogy az állítás igaz minden $n<n_0$ esetén.
|
||||
** Lemma
|
||||
$G$ körmentes, $n$ csúcsú gráf. Ekkor legfeljebb $n-1$ éle van $G$ -nek.
|
||||
** Állítás
|
||||
Minden legalább $2$ csúcsú fának van levele.
|
||||
** Feszítőfa
|
||||
$G$ -nek $F$ feszítőfája, ha $F$ fa és $F$ részgráfja G-nek,$F$ minden csúcsot tartalmaz.
|
||||
* Gráfok bejárása
|
||||
** Szélességi bejárás (BFS)
|
||||
stuff
|
||||
** Minimális összsúlyú feszítőfák
|
||||
** Kruskal algoritmusa
|
||||
* Euler- és Hamilton körök $\protect \footnote{ \cite{kv} alapján.}$
|
||||
** Definíció
|
||||
A $G$ gráf Euler-körének nevezünk egy zárt élsorozatot, ha az élsorozat pontosan egyszer tartalmazza $G$ összes élét. Ha az élsorozat nem feltétlenül zárt\footnote{tehát nem ugyanaz a kezdő- és végpontja}, akkor Euler-utat kapunk.
|
||||
** Tétel
|
||||
Egy összefüggő $G$ gráfban akkor és csak akkor van Euler-kör, ha $G$ minden pontjának fokszáma páros.
|
||||
** Tétel
|
||||
Egy összefüggő $G$ gráfban akkor és csak akkor van Euler-út, ha $G$ -ben a páratlan fokú pontok száma $0$ vagy $2$.
|
||||
** Definíció
|
||||
Egy $G$ gráfban Hamilton-körnek nevezünk egy $H$ kört, ha $G$ minden pontját (pontosan egyszer) tartalmazza. Egy utat pedig Hamilton-útnak nevezünk, ha $G$ minden pontját pontosan egyszer tartalmazza.
|
||||
** Tétel
|
||||
Ha a G gráfban létezik $k$ olyan pont, amelyeket elhagyva a gráf több mint $k$ komponensre esik, akkor nem létezik a gráfban Hamilton-kör. Ha létezik $k$ olyan pont, amelyeket elhagyva a gráf több mint $k + 1$ komponensre esik, akkor nem létezik a gráfban Hamilton-út.
|
||||
** Tétel(Ore)
|
||||
Ha az n pontú G gráfban minden olyan $x, y \in V (G)$ pontpárra, amelyre ${x, y} \in E(G)$ teljesül az is, hogy $d(x) + d(y) \geq n$, akkor a gráfban van Hamilton-kör.
|
||||
** Tétel(Dirac)
|
||||
Ha egy n pontú G gráfban minden pont foka legalább $n/2$, akkor a gráfban létezik Hamilton–kör.
|
||||
* Gráfok síkbarajzolhatósága $\protect \footnote{ \cite{kv} alapján.}$
|
||||
** Definíció
|
||||
Ha egy gráf lerajzolható a síkba úgy, hogy az élei ne messék egymást, akkor a gráf síkbarajzolható. A síkbarajzolt gráf a síkot tartományokra osztja. Hasonlóan definiáljuk a gömbre rajzolható gráfot.
|
||||
** Tétel
|
||||
Euler formula: Ha egy összefüggő síkbeli gráfnak $n$ csúcsa, $e$ éle és $t$ tartománya van (beleértve a külső, nem korlátos tartományt is), akkor eleget tesz az Euler-formulának: $n-e+t = 2$.
|
||||
** Tétel
|
||||
Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf és pontjainak száma legalább 3, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq3n-6$.
|
||||
** Tétel
|
||||
Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf, minden körének a hossza legalább 4 és pontjainak száma legalább 4, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq2n-4$.
|
||||
** Tétel
|
||||
Egy gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, amely topologikusan izomorf $K_{3,3}$ -mal vagy $K_5$ -tel.
|
||||
* Gráfok színezése $\protect \footnote{ \cite{hj} alapján.}$
|
||||
** Definíció
|
||||
Legyen $G$ egy gráf és $k\geq1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel színezhető, ha a $G$ minden csúcsa kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$ bármely két szomszédos csúcsának a színe különböző. A $G$ kromatikus száma $k$, ha
|
||||
$G$ $k$ színnel színezhető, de $(k - 1)$ -gyel már nem. $G$ kromatikus számának a jele:
|
||||
$\chi(G)$.
|
||||
** Definíció
|
||||
A $G$ gráfot páros gráfnak nevezzük, ha a $V(G)$ csúcshalmaza felbontható az $A$ és $B$ diszjunkt halmazok egyesítésére úgy, hogy a $G$ minden éle egy
|
||||
$A$ -beli csúcsot köt össze egy $B$ -belivel. Ilyenkor a szokásos $G = (V ; E)$ jelölés helyett a $G = (A, B; E)$ jelölést is használjuk.
|
||||
** Tétel
|
||||
A $G$ gráf akkor és csak akkor páros gráf, ha nem tartalmaz páratlan
|
||||
hosszú kört.
|
||||
** Állítás
|
||||
Minden $k \geq 1$ egész esetén létezik olyan ($2k$ csúcsú) $G$ gráf és a $G$ csúcsainak egy olyan sorrendje, hogy $\chi(G) = 2$, de a mohó színezést a $G$ -re a
|
||||
csúcsoknak ebben a sorrendjében futtatva az eljárás $k$ színt használ.
|
||||
** Állítás
|
||||
Legyen $G$ (hurokélmentes) gráf és jelölje $\Delta(G)$ a $G$ -beli maximális
|
||||
fokszámot (vagyis a $G$ -beli csúcsok fokszámai közül a legnagyobbat). Ekkor a mohó színezést a csúcsok tetszőleges sorrendjében végrehajtva az legföljebb $\Delta(G) + 1$
|
||||
színt használ.
|
||||
*** Következmény
|
||||
Minden (hurokélmentes) $G$ gráfra $\chi(G)\leq\Delta(G) + 1$.
|
||||
** Definíció
|
||||
A $G$ gráf klikkszáma $k$, ha $G$ -ben található $k$ darab csúcs úgy, hogy ezek közül bármely kettő szomszédos, de $k + 1$ ilyen csúcs már nem található.
|
||||
$G$ klikkszámának a jele: $\omega(G)$.
|
||||
** Állítás
|
||||
Minden (hurokélmentes) $G$ gráfra $\omega(G) \leq \chi(G)$ teljesül.
|
||||
** Tétel
|
||||
Minden $k\geq2$ esetén létezik olyan $G_k$ gráf, amire $\omega(G_k ) = 2$ és
|
||||
$\chi(G_k ) = k$.
|
||||
** Definíció
|
||||
A $G$ egyszerű gráfot akkor nevezzük intervallumgráfnak, ha léteznek a számegyenesen olyan $I_1 , I_2 ,\dots, I_n \subseteq \mathbb{R}$ (korlátos és zárt) intervallumok, hogy $G$ ezekből megkapható a következő módon: $G$ csúcsai megfelelnek az intervallumoknak és két különböző csúcs pontosan akkor szomszédos $G$ -ben, ha a két megfelelő intervallumnak van közös pontja. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az ${I_1,I_2 ,\dots, I_n }$
|
||||
** Tétel
|
||||
Legyen $G$ intervallumgráf és tegyük fel, hogy $G$ -t az ${I_1 , I_2 ,\dots, I_n }$
|
||||
intervallumrendszer reprezentálja. Ekkor ha az ${I_1 ,I_2,\dots, I_n }$ intervallumokat a baloldali végpontjuk szerinti növekvő sorrendbe rendezzük és $G$ csúcsainak erre a
|
||||
sorrendjére hajtjuk végre a mohó színezést, akkor az eljárás $G$ -t optimális számú,
|
||||
$\chi(G)$ színnel színezi meg.
|
||||
*** Következmény
|
||||
Ha $G$ intervallumgráf, akkor rá $\omega(G) = \chi(G)$ teljesül.
|
||||
* Párosítások
|
||||
** Definíció
|
||||
A $G$ gráfban az $M\subseteq E(G)$ élhalmazt párosításnak vagy független
|
||||
élhalmaznak nevezzük, ha ($M$ nem tartalmaz hurokélt és) $M$ semelyik két élének
|
||||
nincs közös végpontja. Az $M$ maximális párosítás, ha $G$ -nek nincs $|M|$ -nél nagyobb
|
||||
méretű párosítása; a $G$ -beli maximális párosítások méretét $\nu(G)$ jelöli. Az
|
||||
M független élhalmaz teljes párosítás, ha $G$ minden csúcsára illeszkedik $M$
|
||||
-beli él.
|
||||
|
||||
** Definíció
|
||||
A $G$ gráf csúcsainak egy $X\subseteq V(G)$ halmazát lefogó ponthalmaznak
|
||||
nevezzük, ha $G$ minden élének legalább az egyik végpontja $X$ -beli. Az $X$
|
||||
minimális lefogó ponthalmaz, ha $G$ -ben nincs $|X|$ -nél kisebb lefogó
|
||||
ponthalmaz. A $G$ -beli minimális lefogó ponthalmazok méretét $\tau(G)$ jelöli.
|
||||
|
||||
** Állítás
|
||||
Minden $G$ gráfra $\nu(G)\leq\tau(G)$ teljesül.
|
||||
** Definíció
|
||||
A $G$ gráf csúcsainak egy $Y\subseteq V(G)$ halmazát független ponthalmaznak nevezzük, ha $Y$ -nak semelyik két tagja nem szomszédos $G$ -ben (és $Y$ -beli csúcsra hurokél sem illeszkedik). A $G$ -beli független ponthalmazok közül a maximálisaknak a méretét $\alpha(G)$ jelöli.
|
||||
** Definíció
|
||||
Az izolált pontot nem tartalmazó $G$ gráf éleinek egy $Z\subseteq E(G)$
|
||||
halmazát lefogó élhalmaznak nevezzük, ha a $G$ -nek minden csúcsára illeszkedik
|
||||
legalább egy $Z$ -beli él. A $G$ -beli lefogó élhalmazok közül a minimálisaknak a méretét $\rho(G)$ jelöli.
|
||||
** Állítás
|
||||
Minden (izolált pontot nem tartalmazó) $G$ gráfra $\alpha(G)\leq\rho(G)$ teljesül.
|
||||
** Állítás
|
||||
Legyen $G$ tetszőleges gráf, $X\subseteq V(G)$ csúcshalmaz és $Y = V (G) \ X$
|
||||
az $X$ komplementere. Ekkor az $X$ pontosan akkor minimális lefogó ponthalmaz
|
||||
$G$ -ben, ha $Y$ maximális független ponthalmaz $G$ -ben.
|
||||
** Állítás
|
||||
Legyen $G$ egy $n$ csúcsú, izolált pontot nem tartalmazó gráf, $k$ pedig tetszőleges nemnegatív egész. Ekkor:
|
||||
|
||||
- ha $G$ -ben van $k$ élű párosítás, akkor $G$ -ben van legföljebb $n-k$ élű lefogó élhalmaz;
|
||||
- ha $G$ -ben van $k$ élű lefogó élhalmaz, akkor $G$ -ben van legalább $n-k$ élű
|
||||
párosítás.
|
||||
|
||||
** Gallai tétele
|
||||
Minden $n$ csúcsú $G$ gráfra fennállnak az alábbiak:
|
||||
- $\alpha(G)+\tau(G) =n$
|
||||
- $\nu(G)+\rho(G)=n$,ha G-nek nincs izolált pontja.
|
||||
|
||||
** Összefoglaló táblázat
|
||||
| | Maximális független | Minimális lefogó | Összeg |
|
||||
| pont | $\alpha$ | $\tau$ | $n$ |
|
||||
| él | $\nu$ | $\rho$ | $n$ |
|
||||
|
||||
** Definíció
|
||||
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$ -ben. Ekkor
|
||||
egy $G$ -beli $P$ út javítóút $M$ -re nézve, ha rá az alábbiak teljesülnek:
|
||||
|
||||
(1) $P$ egy $M$ által nem fedett $A$ -beli csúcsból indul;
|
||||
|
||||
(2) $P$ egy $M$ által nem fedett $B$ -beli csúcsban ér véget;
|
||||
|
||||
(3) $P$ -nek minden páros sorszámú éle (tehát a második, negyedik stb.) $M$ -beli.
|
||||
** Definíció\label{def1}
|
||||
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$ -ben. A
|
||||
$G$ -beli $P$ utat alternáló útnak hívjuk, ha rá a \ref{def1}. Definíció (1) és (3) követelményei teljesülnek (de a (2) nem feltétlenül). Más szóval: alternáló útnak az olyan utakat nevezzük, amelyek párosítás által nem fedett $A$ -beli csúcsból indulnak és minden második élük $M$ -beli.
|
||||
** Lemma
|
||||
Tegyük fel, hogy a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút $G$ -ben. Vezessük be az alábbi jelöléseket:
|
||||
|
||||
(1) jelölje $A_1$ , illetve $B_1$ az $M$ által nem fedett $A$, illetve $B$ -beli csúcsok halmazát;
|
||||
|
||||
(2) jelölje $A_2$ azoknak az ($M$ által fedett) $A$ -beli csúcsoknak a halmazát, amelyekbe vezet alternáló út;
|
||||
|
||||
(3) jelölje $A_3$ a maradék $A$ -beli csúcsoknak a halmazát (amelyek tehát $M$ által
|
||||
lefedettek, de nem vezet hozzájuk alternáló út).
|
||||
|
||||
(4) Jelölje $B_2$ , illetve $B_3$ az $A_2$, illetve $A_3$ csúcsainak $M$ szerinti párjaiból álló $B$ -beli csúcsok halmazait.
|
||||
|
||||
Ekkor $G$ -nek nincs olyan éle, amely $A_1 \cup A_2$ és $B_1 \cup B_3$ között vezet.
|
||||
** Tétel
|
||||
Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút,
|
||||
akkor $M$ maximális párosítás $G$ -ben.
|
||||
*** Következmény (Kőnig tétele)
|
||||
Minden $G$ páros gráfra $\nu(G) = \tau(G)$ teljesül.
|
||||
*** Következmény
|
||||
Ha a $G$ páros gráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor rá $\alpha(G) = \rho(G)$ teljesül.
|
||||
** Definíció
|
||||
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $X\subseteq A$ egy tetszőleges részhalmaza $A$ -nak. Ekkor az $X$ szomszédságának nevezzük és $N(X)$ -szel jelöljük a $B$ -nek azt a részhalmazát, amely azokból a $B$ -beli csúcsokból áll, amelyeknek van (legalább egy) szomszédja $X$ -ben. Képletben:
|
||||
$$N(X) = \{b\in B : \exists a \in X, {a, b} \in E(G) \}$$
|
||||
** Tétel
|
||||
A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A$ -t lefedő
|
||||
párosítás, ha minden $X\subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
|
||||
*** Következmény (Frobenius tétele)
|
||||
A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha
|
||||
$|A| = |B|$ és minden $X \subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
|
||||
*** Következmény
|
||||
Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf d-reguláris, ahol $d \geq 1$ tetszőleges egész, akkor $G$ -ben van teljes párosítás.
|
||||
** Tutte tétele
|
||||
A $G$ gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha a csúcsok minden
|
||||
$X\subseteq V(G)$ részhalmazára $c_p (G - X) \leq |X|$ teljesül.
|
||||
* Gráfok élszínezése $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
|
||||
** Definíció
|
||||
Legyen $G$ egy gráf és $k \geq 1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel élszínezhető, ha a $G$ minden éle kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$
|
||||
bármely két szomszédos (vagyis közös csúcsra illeszkedő) élének a színe különböző. A $G$ élkromatikus száma $k$, ha $G$ $k$ színnel élszínezhető, de $(k - 1)$ -gyel már nem. G élkromatikus számának a jele: $\chi_e(G)$.
|
||||
** Állítás
|
||||
Minden (hurokélmentes) $G$ gráfra $\Delta(G) \leq\chi_e(G)$ teljesül.
|
||||
** Vizing tétele
|
||||
Minden G egyszerű gráfra $\chi_e(G) \leq \Delta(G) + 1$ teljesül.
|
||||
** Kőnig élszínezési tétele
|
||||
Minden $G = (A, B; E)$ páros gráfra $\chi_e(G) = \Delta(G)$ teljesül.
|
||||
* A maximális folyam $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
|
||||
** Definíció
|
||||
Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, annak az $s,t\in V(G)$
|
||||
egymástól különböző csúcsai és a $c : E \rightarrow \mathbb{R}^+$ kapacitás függvény (ami tehát minden $e\in E$ élhez egy nemnegatív $c(e)$ kapacitás értéket rendel). Ekkor a $(G, s,t, c)$ négyest hálózatnak nevezzük.
|
||||
** Definíció
|
||||
Egy adott $(G, s,t, c)$ hálózat esetén folyamnak nevezzük az $f : E \rightarrow \mathbb{R}^+$ függvényt, ha rá az alábbi feltételek teljesülnek:
|
||||
|
||||
(1) $0 \leq f (e) \leq c(e)$ minden $e \in E(G)$ él esetén;
|
||||
|
||||
(2)
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\sum_{e:v\rightarrow}^{} f(e)=\sum_{e:v\leftarrow}^{} f(e) \text{ minden } v\in V,v\ne s,t \text{ csúcs esetén}
|
||||
\end{equation}
|
||||
** Definíció
|
||||
A $(G, s,t, c)$ hálózatban adott $f$ folyam $m_f$ -fel jelölt értéke:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
m_f=\sum_{e:
|
||||
s\rightarrow}^{} f(e)=\sum_{e:s\leftarrow}^{} f(e)
|
||||
\end{equation}
|
||||
** Definíció
|
||||
Legyen $f$ folyam a $(G, s,t, c)$ hálózatban. Ekkor az $f$ -hez tartozó $H_f$ segédgráfot a következő képpen definiáljuk. $H_f$ irányított gráf, amelyre $V (H_f ) = V (G)$, vagyis $H_f$ csúcsainak halmaza azonos $G$ csúcshalmazával. Továbbá $H_f$ élhalmazába kétféle típusú él kerül:
|
||||
|
||||
- Ha $e = (u, v)$ olyan éle $G$ -nek, amelyre $f (e) < c(e)$, akkor $e = (u,
|
||||
v)$ a $H_f$ élhalmazába is bekerül; az ilyen élek neve előreél.
|
||||
|
||||
- Ha $e = (u, v)$ olyan éle $G$ -nek, amelyre $f (e) > 0$, akkor $e$
|
||||
megfordítása, az $e0 = (v, u)$ él kerül be $H_f$ élhalmazába; az ilyen élek
|
||||
neve pedig visszaél.
|
||||
h
|
||||
** Definíció
|
||||
Legyen $f$ folyam a $(G, s,t, c)$ hálózatban. Ekkor a $H_f$ -beli, $s$ -ből
|
||||
$t$ -be vezető irányított utakat javítóútnak nevezzük $f$ -re nézve.
|
||||
** Állítás
|
||||
Ha $f$ folyam, akkor a javítóutas algoritmus $8$. sorában végrehajtott
|
||||
változtatások után is az marad és $m_f$ értéke $\delta$ -val nő.
|
||||
** Definíció
|
||||
A $(G, s,t, c)$ hálózatban $st$ -vágásnak nevezzük az $X\subseteq V(G)$ csúcshalmazt, ha rá $s\in X$ és $t\notin X$ teljesül. Ha a szövegkörnyezetből $s$ és $t$ szerepe egyértelmű, akkor $st$ -vágás helyett $X$ -et röviden vágásnak is hívjuk.
|
||||
** Állítás
|
||||
Ha $f$ tetszőleges folyam, $X$ pedig tetszőleges vágás a $(G, s,t, c)$ hálózatban, akkor
|
||||
$$m_f=\sum \{f(e)\text{: kilép } X\text{-ből}\}-\sum \{f(e)\text{: belép } X\text{-be}\} $$
|
||||
** Definíció
|
||||
A $(G, s,t, c)$ hálózatban az $X$ $st$ -vágás $c(X)$ -szel jelölt kapacitása a
|
||||
$$c(X)=\sum \{f(e)\text{: kilép } X\text{-ből}\}$$
|
||||
összeg (ahol a fentieknek megfelelően $e = (u, v)$ az $X$ -ből kilépő él, ha $u\in X$ és
|
||||
$v\notin X$). A vágás kapacitását a vágás értékének is szokták nevezni.
|
||||
** Állítás
|
||||
Ha $f$ tetszőleges folyam, $X$ pedig tetszőleges vágás a $(G, s,t, c)$ hálózatban, akkor $m_f \leq c(X)$.
|
||||
** Tétel
|
||||
Ha a $(G, s,t, c)$ hálózatban az $f$ folyamra nézve nincs javítóút, akkor
|
||||
$f$ maximális folyam (vagyis nincs $m_f$ -nél nagyobb értékű folyam).
|
||||
** Tétel
|
||||
Ha a $G$ gráf $n$ csúcsú és $m$ élű és a $(G, s,t, c)$ hálózatban a maximális
|
||||
folyam keresésére szolgáló javítóutas algoritmus futása során $H_f$ -ben mindig az
|
||||
egyik legrövidebb (vagyis legkevesebb élű) $s$ -ből $t$ -be vezető irányított utat választjuk
|
||||
javítóútnak, akkor az eljárás legföljebb $n\cdot m$ javító lépés után megáll.
|
||||
** Ford-Fulkerson Tétel
|
||||
Bármely $(G,s,t,c)$ hálózatra
|
||||
$$\text{max}\{m_f:f\text{ folyam}\} = \text{min} \{ c(X):X\text{ }st\text{ vágás}$$,
|
||||
vagyis a hálózatbeli maximális folyam értéke megegyezik az $st$ -vágások kapacításának minimumával.
|
||||
** Egészértékűségi lemma
|
||||
Tegyük fel, hogy a $(G, s,t, c)$ hálózatban minden $e\in E(G)$ élre $c(e)\in\mathbb{Z}$. Ekkor
|
||||
|
||||
(i) létezik olyan $f$ maximális folyam a hálózatban, amelyre $f (e)\in\mathbb{Z}$ minden
|
||||
$e\in E(G)$ élre és
|
||||
|
||||
(ii) ilyen egészértékű maximális folyam a javítóutas algoritmussal található.
|
||||
|
||||
\clearpage
|
||||
\begin{thebibliography}{99}
|
||||
|
||||
\bibitem[1]{kv}
|
||||
\bibentry{Katona Gyula – Recski András – Szabó Csaba, }{(2002)}{A számítástudomány alapjai, }{Budapest, }{Typotex Kiadó}{}{}
|
||||
|
||||
\bibitem[2]{hj}
|
||||
\bibentry{Szeszlér Dávid, }{(2019)}{Bevezetés a Számításelméletbe 2 - Ideiglenes egyetemi jegyzet a koronavírus járvány idején zajló távoktatáshoz, }{Budapest, }{\url{http://cs.bme.hu/bsz2/bsz2_jegyzet.pdf}}{}{}
|
||||
\end{thebibliography}
|
||||
|
||||
|
||||
353
template.tex
Normal file
353
template.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,353 @@
|
|||
\usepackage{t1enc}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage[magyar,english]{babel}
|
||||
\usepackage{times}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
|
||||
%matematikai csomagok
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
|
||||
|
||||
%abrak, grafika
|
||||
\usepackage{graphicx}
|
||||
%\usepackage[draft]{graphicx}
|
||||
\usepackage{caption}
|
||||
\usepackage{epstopdf}
|
||||
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
|
||||
\usepackage{appendix}
|
||||
\usepackage{titlesec}
|
||||
\usepackage{float}
|
||||
\usepackage{hyperref}
|
||||
\usepackage{fancyvrb}
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\usepackage{verbatim}
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usepackage{array}
|
||||
\usepackage{fixltx2e}
|
||||
% Starred variant
|
||||
\titleformat{name=\section,numberless}
|
||||
{\normalfont\Large\bfseries}
|
||||
{}
|
||||
{0pt}
|
||||
{}
|
||||
|
||||
\newcommand{\bibentry}[7]{
|
||||
{\textsc{#1}}%%author
|
||||
{#2}:~%%year
|
||||
{\textit{#3}}%%title
|
||||
{#4}%%others
|
||||
v {#5}%%others
|
||||
{#6}%%others
|
||||
{#7}.%%others
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\makeatletter
|
||||
\if0\magyar@opt@@figurecaptions\@@magyar@skiplong\fi
|
||||
\if1\magyar@opt@@figurecaptions
|
||||
\def\@@magyar@fnum@figure{\textit{\thesection-\thefigure.~\figurename}}%
|
||||
\else \def\@@magyar@fnum@figure{\figurename\nobreakspace\thefigure}\fi
|
||||
\expandafter\addto\csname extras\CurrentOption\endcsname{%
|
||||
\babel@save\fnum@figure\let\fnum@figure\@@magyar@fnum@figure}
|
||||
\@gobble
|
||||
{^}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\frenchspacing
|
||||
\sloppy
|
||||
|
||||
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
|
||||
|
||||
\setcounter{tocdepth}{3}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{5}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
%\usepackage{titlesec}
|
||||
|
||||
%\titlespacing*{\section} %\titlespacing*{<command>}{<left>}{<before-sep>}{<after-sep>}
|
||||
%{0pt}{18pt plus 1ex minus 1ex}{6pt plus 1ex minus 1ex}
|
||||
%\titlespacing*{\subsection}
|
||||
%{0pt}{18pt plus 1ex minus 1ex}{6pt plus 1ex minus 1ex}
|
||||
%\titlespacing*{\subsubsection}
|
||||
%{0pt}{12pt plus 1ex minus 1ex}{6pt plus 1ex minus 1ex}
|
||||
%\titlespacing*{\paragraph}
|
||||
%{0pt}{6pt plus 1ex minus 1ex}{3pt plus 1ex minus 1ex}
|
||||
|
||||
\usepackage[nottoc,numbib]{tocbibind}
|
||||
\usepackage[sectionbib]{chapterbib}
|
||||
|
||||
|
||||
\def\re#1{(\ref{#1})} %% Note: AMSTex's \eqref also does (\ref{#1})
|
||||
\def\are#1{\az+\re{#1}} \def\Are#1{\Az+\re{#1}} %% these three lines
|
||||
\def\tre#1#2{\told\re{#1}+#2{}} %% for Hungarian texts
|
||||
\def\atre#1#2{\atold\re{#1}+#2{}} \def\Atre#1#2{\Atold\re{#1}+#2{}}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\newcommand\nc{\newcommand*} \nc\longnc{\newcommand}
|
||||
|
||||
%% Shorthands, to save space, typing and mistyping:
|
||||
\let\x\hskip \let\y\vskip \let\Z\kern %% positioning
|
||||
\def\x#1{\x#1em} \def\y#1{\y#1ex}
|
||||
\def\xx#1{\HB to#1{\ }} \def\yy#1{\setbox1\HB to0em{\ }\RB{#1}}
|
||||
\def\xx#1{\xx{#1em}} \def\yy#1{\yy{#1ex}}
|
||||
\let\xph\hphantom \let\yph\vphantom \let\ph\phantom
|
||||
\let\HB\hbox \def\SB{\setbox1\HB} \def\CB{\copy1} %% for temporary
|
||||
\def\SC{\setbox2\HB} \def\CC{\copy2} %% boxes
|
||||
\def\RB#1{\raise#1\CB} \def\xB{\wd1} \def\yB{\ht1} \def\ZB{\dp1}
|
||||
\def\RC#1{\raise#1\CC} \def\xC{\wd2} \def\yC{\ht2} \def\ZC{\dp2}
|
||||
\def\UB{\Z-\xB} \def\VB{\CB\UB} \def\WB#1{\RB{#1}\UB} %% puts out and
|
||||
\def\UC{\Z-\xC} \def\VC{\CC\UC} \def\WC#1{\RC{#1}\UC} %% steps back
|
||||
\newcount\n \newdimen\w \newdimen\h %% for numbers, widths, heights
|
||||
\def\mathsizes#1#2#3{\mathchoice{#1}{#1}{#2}{#3}} %% the 3 math sizes
|
||||
|
||||
%% Sizes:
|
||||
\nc\tS[1]{\ifcase#1\tiny\or %% type sizes: \tS0 = \tiny, ...
|
||||
\scriptsize\or\footnotesize\or\small\or\normalsize\or\large\or
|
||||
\Large\or\LARGE\or\huge\or\Huge\else\ifnum#1<0\tiny\else\Huge\fi\fi}
|
||||
\makeatletter %% ideas credited to relsize.sty
|
||||
\nc\cS{\ifx\@currsize\normalsize %% current type size, as 0 .. 9
|
||||
4\else\ifx\@currsize\small 3\else\ifx\@currsize\footnotesize
|
||||
2\else\ifx\@currsize\large 5\else\ifx\@currsize\Large
|
||||
6\else\ifx\@currsize\LARGE 7\else\ifx\@currsize\scriptsize
|
||||
1\else\ifx\@currsize\tiny 0\else\ifx\@currsize\huge
|
||||
8\else\ifx\@currsize\Huge 9\else 4\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi}
|
||||
\DeclareRobustCommand\rS[1]{\ifmmode\@nomath\rS\else %% increases type
|
||||
\@tempcnta\cS\advance\@tempcnta#1\relax\tS\@tempcnta} %% size by #1
|
||||
\makeatother
|
||||
\def\mS#1{\ifcase#1\displaystyle\or %% \ms0 = \displaystyle, ...
|
||||
\textstyle\or\scriptstyle\or\scriptscriptstyle\else\textstyle\fi}
|
||||
\nc\dS[1]{\csname\ifcase#1relax\or %% delimiter sizes, \big if 2, ...
|
||||
relax\or big\or Big\or bigg\or Bigg\fi\endcsname}
|
||||
|
||||
%% Fonts:
|
||||
\nc\textinmath[1]{{\mathsizes %% for texts and text
|
||||
{\HB{#1}}{\HB{\tS1#1}}{\HB{\tS0#1}}}} %% fonts within formulas
|
||||
\nc\txt[3]{\mskip#1mu %% #1, #2: space before and
|
||||
\textinmath{#3}\mskip#2mu\relax } %% after, #3: text to put out
|
||||
\nc\mathcl\mathcal %% standard LaTex version
|
||||
\def\mathBf#1{{\mathsizes{\HB{\boldmath %% bf nonletters, bf it letters
|
||||
{$#1$}}}{\HB{\boldmath{$\mS2#1$}}}{\HB{\boldmath{$\mS3#1$}}}}}
|
||||
\nc\mathBF[1]{{\h=.03ex{\mathsizes
|
||||
{\w=.020em\SB{$ #1$}\WB\h\Z\w\VB\WB{2\h}\Z2\w\VB\WB{2\h}\Z\w\RB\h}
|
||||
{\w=.018em\SB{$\mS2#1$}\WB\h\Z\w\VB\WB{2\h}\Z2\w\VB\WB{2\h}\Z\w\RB\h}
|
||||
{\w=.016em\SB{$\mS3#1$}\WB\h\Z\w\VB\WB{2\h}\Z2\w\VB\WB{2\h}\Z\w\RB\h}}}}
|
||||
|
||||
%% Text writing:
|
||||
%\nc\re[1]{(\ref{#1})} %% shorter to type than the amsmath \eqref
|
||||
\nc\rp\pageref \nc\rb\cite
|
||||
\nc\chap[2]{\chapter{#2}\label{#1}}
|
||||
\nc\chaP[3]{\chapter[#3]{#2}\label{#1}}
|
||||
\nc\sect[2]{{\section{#2}\label{#1}}}
|
||||
\nc\secT[3]{\section[#3]{#2}\label{#1}}
|
||||
\nc\ssect[2]{\subsection{#2}\label{#1}}
|
||||
\nc\ssecT[3]{\subsection[#3]{#2}\label{#1}}
|
||||
\nc\sssect[2]{\subsubsection{#2}\label{#1}}
|
||||
\nc\sssecT[3]{\subsubsection[#3]{#2}\label{#1}}
|
||||
\longnc\quot[1]{`#1'} \longnc\quott[1]{``#1''} %% English quotes
|
||||
\longnc\idezz[1]{,,#1''} %% Hungarian quote
|
||||
\longnc\idezzz[1]{\raisebox{.22ex} %% quote as >>something<<
|
||||
{$\mS3\gg$}#1\raisebox{.22ex}{$\mS3\ll$}}
|
||||
\nc\emp\textit %% emphasizing
|
||||
\nc\lat\textit %% latin: i.e. e.g. in situ
|
||||
\nc\ie{\lat{i.e.,\ }} \nc\etal{\lat{et al.\ }} \nc\etc{\lat{etc.\ }}
|
||||
\nc\eg{\lat{e.g.,\ }} \nc\insitu{\lat{in situ}} \nc\QED{\lat{Q.E.D.}}
|
||||
\nc\cf{cf.\ } \nc\wrt{w.r.t.\ }
|
||||
%\nc\lhs{l.h.s.\ } \nc\rhs{r.h.s.\ }
|
||||
\nc\lhs{lhs} \nc\rhs{rhs}
|
||||
\nc\st[1]{\overset{\bitt\raisebox{-.2ex}[0ex][0ex]{$\mS2*$}}{#1}}
|
||||
|
||||
%% Abrak %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\unitlength=.5pt %% pici: egesz tobbszoroseivel lehessen finomhangolni
|
||||
%% Aritmetika, szamlalok helyett parancs valtozokkal:
|
||||
%% pl. \cca , \ccb , ... valtozoneveket hasznalni;
|
||||
\def\set#1#2{\xdef#1{#2}} %\newcount\n
|
||||
\def\add#1#2{\n=#1\advance \n by #2\xdef#1{\the\n}}
|
||||
\def\sub#1#2{\n=#1\advance \n by-#2\xdef#1{\the\n}}
|
||||
\def\mul#1#2{\n=#1\multiply\n by #2\xdef#1{\the\n}}
|
||||
\def\div#1#2{\n=#1\divide \n by #2\xdef#1{\the\n}}
|
||||
\def\setadd#1#2#3{\set{#1}{#2}\add{#1}{#3}}
|
||||
\def\setsub#1#2#3{\set{#1}{#2}\sub{#1}{#3}}
|
||||
\def\setmul#1#2#3{\set{#1}{#2}\mul{#1}{#3}}
|
||||
\def\setdiv#1#2#3{\set{#1}{#2}\div{#1}{#3}}
|
||||
\def\addadd#1#2#3{\add{#1}{#2}\add{#1}{#3}}
|
||||
\def\addsub#1#2#3{\add{#1}{#2}\sub{#1}{#3}}
|
||||
\def\subsub#1#2#3{\sub{#1}{#2}\sub{#1}{#3}}
|
||||
\def\muladd#1#2#3{\mul{#1}{#2}\add{#1}{#3}}
|
||||
\def\mulsub#1#2#3{\mul{#1}{#2}\sub{#1}{#3}}
|
||||
\def\muldiv#1#2#3{\mul{#1}{#2}\div{#1}{#3}}
|
||||
\def\divadd#1#2#3{\div{#1}{#2}\add{#1}{#3}}
|
||||
\def\divsub#1#2#3{\div{#1}{#2}\sub{#1}{#3}}
|
||||
\def\setaddadd#1#2#3#4{\setadd{#1}{#2}{#3}\add{#1}{#4}}
|
||||
\def\setaddsub#1#2#3#4{\setadd{#1}{#2}{#3}\sub{#1}{#4}}
|
||||
\def\setsubsub#1#2#3#4{\setsub{#1}{#2}{#3}\sub{#1}{#4}}
|
||||
\def\setmuladd#1#2#3#4{\setmul{#1}{#2}{#3}\add{#1}{#4}}
|
||||
\def\setmulsub#1#2#3#4{\setmul{#1}{#2}{#3}\sub{#1}{#4}}
|
||||
\def\setmuldiv#1#2#3#4{\setmul{#1}{#2}{#3}\div{#1}{#4}}
|
||||
\def\setdivadd#1#2#3#4{\setdiv{#1}{#2}{#3}\add{#1}{#4}}
|
||||
\def\setdivsub#1#2#3#4{\setdiv{#1}{#2}{#3}\sub{#1}{#4}}
|
||||
\let\bez\qbezier %% Now comes an alternative convention to \qbezier :
|
||||
%% instead of the second point, the tangent vectors at the first
|
||||
%% and third points are to be given (with integer coordinates):
|
||||
%% Usage: \beztan{x1}{y1}{ux}{uy}{x3}{y3}{vx}{vy}
|
||||
\def\beztan#1#2#3#4#5#6#7#8{\setsub{\nP}{#5}{#1}\setsub{\nQ}{#6}{#2}%
|
||||
\setmul{\nR}{\nP}{#8}\setmul{\nS}{\nQ}{#7}\setsub{\nP}{\nR}{\nS}\setmul
|
||||
{\nR}{#3}{#8}\setmul{\nS}{#4}{#7}\setsub{\nQ}{\nR}{\nS}\setmul{\nR}{#3}
|
||||
{\nP}\div{\nR}{\nQ}\setmul{\nS}{#4}{\nP}\div{\nS}{\nQ}\add{\nR}{#1}\add
|
||||
{\nS}{#2}\bez(#1,#2)(\nR,\nS)(#5,#6)}
|
||||
%% The same, adding \qbezier 's optional number of points:
|
||||
%% Usage: \beztann{numpoints}{x1}{y1}{ux}{uy}{x3}{y3}{vx}{vy}
|
||||
\def\beztann#1#2#3#4#5#6#7#8#9{\setsub{\nP}{#6}{#2}\setsub{\nQ}{#7}{#3}%
|
||||
\setmul{\nR}{\nP}{#9}\setmul{\nS}{\nQ}{#8}\setsub{\nP}{\nR}{\nS}\setmul
|
||||
{\nR}{#4}{#9}\setmul{\nS}{#5}{#8}\setsub{\nQ}{\nR}{\nS}\setmul{\nR}{#4}
|
||||
{\nP}\div{\nR}{\nQ}\setmul{\nS}{#5}{\nP}\div{\nS}{\nQ}\add{\nR}{#2}\add
|
||||
{\nS}{#3}\bez[#1](#2,#3)(\nR,\nS)(#6,#7)}
|
||||
\def\mut{\multiput}
|
||||
\def\nb{\makebox(0,0)} %% \put needs a box: \put(9,7){\nb[t]{$x$}}}
|
||||
|
||||
%% Formula handling:
|
||||
\nc\m[1]{\scase=0$ #1 $} %% space around an in-text formula
|
||||
\nc\mm[1]{\m{ \, #1 \, }} %% Tip: always use \m{...}
|
||||
\nc\mmm[1]{\m{ \,\, #1 \,\, }} %% instead of $...$, thus later
|
||||
\nc\mmmm[1]{\m{ \,\,\, #1 \,\,\, }} %% you can add space easily.
|
||||
\nc\M[3]{\scase=0$ %% finer and unequal spaces
|
||||
\mskip#1mu#3\mskip#2mu$} %% around an in-text formula
|
||||
|
||||
|
||||
%% Some journals don't accept amsmath, some others recommend it...
|
||||
%% Making the switch between amsmath and non-amsmath easier:
|
||||
\makeatletter\@ifpackageloaded{amsmath}{
|
||||
%% Equations: amsmath definitions:
|
||||
\def\eq#1#2{ \scase=1 \begin{alignn} \elabel{#1} #2 \end{alignn}}
|
||||
%% eq/array, #1: label, #2: formula.
|
||||
\def\eqa{\eq} %% same, only for compatibility with non-amsmath
|
||||
\def\eqn#1#2{ \scase=1 \begin{alignn} \elabel{#1} \non #2 \end{alignn}}
|
||||
%% unnumbered equation (still let's give it a label!)
|
||||
\def\eqan{\eqn} %% same, only for compatibility with non-amsmath
|
||||
\def\lel#1{ \\ \elabel{#1} } %% line break within equation
|
||||
\def\leln#1{\\ \elabel{#1} \non} %% same, non-numbered line (still label it!)
|
||||
\def\tagg{\tag*{}} %% auxiliary, see above
|
||||
%% Shorthands for some other amsmath macros:
|
||||
\def\mat#1{\begin{matrix} #1 \end{matrix}}
|
||||
\def\smat#1{\begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix}}
|
||||
}{
|
||||
%% Equations: non-amsmath definitions:
|
||||
\def\eq#1#2{ \scase=0\begin{equation} \elabel{#1} #2 \end{equation}}
|
||||
\def\eqa#1#2{ \scase=2\begin{eqnarray} \elabel{#1} #2 \end{eqnarray}}
|
||||
\def\eqn#1#2{ \scase=0\begin{displaymath} \elabel{#1} #2 \end{displaymath}}
|
||||
\def\eqan#1#2{\scase=2\begin{eqnarray} \elabel{#1} \non #2 \end{eqnarray}}
|
||||
\def\lel#1{\ifnum\scase=2\else\erroreqaneeded\fi \\ \elabel{#1}}
|
||||
\def\leln#1{\ifnum\scase=2\else\erroreqaneeded\fi \\ \elabel{#1} \non}
|
||||
\def\tagg{\nonumber} %% auxiliary, see above.
|
||||
%% Other macros: non-amsmath version:
|
||||
\def\lvert{|} \def\rvert{|} \def\lVert{\|} \def\rVert{\|}
|
||||
\def\mat#1{{\def\\{\cr}\matrix{#1}}} %% not elegant, just struggling
|
||||
\def\smat#1{\hbox{\scriptsize{$\mat{#1}$}}} %% also a minimal solution
|
||||
}\makeatother %% whether amsmath was loaded.
|
||||
|
||||
%% Write \s= instead of = in equations. Its meaning will be:
|
||||
%% = in \m, \mm, \mmm, \mmmm and \eq as non-amsmath equation,
|
||||
%% &= in \eq and \eqa as amsmath alignn
|
||||
%% &=& in \eqa as non-amsmath eqnarray
|
||||
%% (Naturally, it works for < > etc. as well.)
|
||||
\newcount\scase \def\7{&} \def\s#1{\ifcase\scase#1\or\7#1\or\7#1\7\fi}
|
||||
|
||||
\def\smatup{\yy{1.9 }} \def\smatdn{\yy{-.8 }} %% in \smat, these add
|
||||
\def\smatupdn{\smatup\smatdn} %% distance between lines
|
||||
|
||||
%% Brackets: size and shape
|
||||
%% \0 = \left(...\right) but with no extra spaces around
|
||||
%% \1 = (...)
|
||||
%% \2 = \big(...\big) \3 = \Big(...\Big)
|
||||
%% \4 = \bigg(...\bigg) \5 = \Bigg(...\Bigg)
|
||||
%% \9 = \left(...\right) (ordinary)
|
||||
%% #1 = shape: 0 no bracket 2 [ ] 4 < > 6 | |
|
||||
%% 1 ( ) 3 \{ \} 5 \langle \rangle 7 \| \|
|
||||
\nc\0[2]{\ifcase#1{#2}\or\lt(#2\rt)\or\lt[{#2}\rt]\or\lt\{{#2}\rt\}\or
|
||||
\mathord<{#2}\mathord>\or\lt\langle{#2}\rt\rangle\or\lt\lvert{#2}\rt
|
||||
\rvert\or\lt\lVert{#2}\rt\rVert\fi}
|
||||
\nc\1[2]{\ifcase#1{#2}\or(#2)\or[#2]\or\{#2\}\or\mathord<{#2}\mathord
|
||||
>\or\langle{#2}\rangle\or\lvert{#2}\rvert\or\lVert{#2}\rVert\fi}
|
||||
\nc\2[2]{\ifcase#1{#2}\or\big(#2\big)\or\big[#2\big]\or\big
|
||||
\{#2\big\}\or\big<#2\big>\or\big\langle#2\big\rangle\or\big
|
||||
\lvert#2\big\rvert\or\big\lVert#2\big\rVert\fi}
|
||||
\nc\3[2]{\ifcase#1{#2}\or\Big(#2\Big)\or\Big[#2\Big]\or\Big\{#2\Big
|
||||
\}\or\Big<#2\Big>\or\Big\langle#2\Big\rangle\or\Big\lvert#2\Big
|
||||
\rvert\or\Big\lVert#2\Big\rVert\fi}
|
||||
\nc\4[2]{\ifcase#1{#2}\or\bigg(#2\bigg)\or\bigg[#2\bigg]\or\bigg
|
||||
\{#2\bigg\}\or\bigg<#2\bigg>\or\bigg\langle#2\bigg\rangle\or\bigg
|
||||
\lvert#2\bigg\rvert\or\bigg\lVert#2\bigg\rVert\fi}
|
||||
\nc\5[2]{\ifcase#1{#2}\or\Bigg(#2\Bigg)\or\Bigg[#2\Bigg]\or\Bigg
|
||||
\{#2\Bigg\}\or\Bigg<#2\Bigg>\or\Bigg\langle#2\Bigg\rangle\or\Bigg
|
||||
\lvert#2\Bigg\rvert\or\Bigg\lVert#2\Bigg\rVert\fi}
|
||||
\nc\9[2]{\ifcase#1{#2}\or\left(#2\right)\or\left[#2\right]\or\left
|
||||
\{#2\right\}\or\left\langle{#2}\right\rangle\or\left\langle{#2}\right
|
||||
\rangle\or\left\lvert{#2}\right\rvert\or\left\lVert{#2}\right\rVert\fi}
|
||||
\nc\lt{\mathopen{}\mathclose\bgroup\left} \nc\rt{\aftergroup\egroup\right}
|
||||
|
||||
\nc\bi\relax %% spacing finer than \! \, \: \;
|
||||
\nc\bit{ \mskip1mu} \nc\biT{ \mskip-1mu} %% Note:
|
||||
\nc\bitt{ \mskip2mu} \nc\biTT{ \mskip-2mu} %% \! = -3mu,
|
||||
\nc\bittt{ \mskip3mu} \nc\biTTT{ \mskip-3mu} %% \, = 3mu,
|
||||
\nc\bitttt{ \mskip4mu} \nc\biTTTT{ \mskip-4mu} %% \: = 4mu,
|
||||
\nc\bittttt{\mskip5mu} \nc\biTTTTT{\mskip-5mu} %% \; = 5mu.
|
||||
|
||||
\nc\f\frac %% fraction styles
|
||||
\nc\F[5]{\1#3{\1#1{#4}/\1#2{#5}}} %% e.g., \F012{a}{b} = [a/(b)]
|
||||
\nc\ff{\largerfrac{-1}} \nc\fF{\largerfrac{+1}} %% smaller
|
||||
\nc\fff{\largerfrac{-2}} \nc\fFF{\largerfrac{+2}} %% and
|
||||
\nc\ffff{\largerfrac{-3}} \nc\fFFF{\largerfrac{+3}} %% larger
|
||||
\nc\fffff{\largerfrac{-4}} \nc\fFFFF{\largerfrac{+4}} %% fractions
|
||||
\nc\largerfrac[3]{\mathchoice %% \frac at a type size larger by #1
|
||||
{\SB{$\mS0\vcenter{}$}\w=\yB\SB{\rS{#1}$\mS0\vcenter{}$}
|
||||
\advance\w by-\yB\raise\w\HB{\rS{#1}$\mS0\frac{#2}{#3}$}}
|
||||
{\SB{$ \vcenter{}$}\w=\yB\SB{\rS{#1}$ \vcenter{}$}
|
||||
\advance\w by-\yB\raise\w\HB{\rS{#1}$ \frac{#2}{#3}$}}
|
||||
{\SB{$\mS2\vcenter{}$}\w=\yB\SB{\rS{#1}$\mS2\vcenter{}$}
|
||||
\advance\w by-\yB\raise\w\HB{\rS{#1}$\mS2\frac{#2}{#3}$}}
|
||||
{\SB{$\mS3\vcenter{}$}\w=\yB\SB{\rS{#1}$\mS3\vcenter{}$}
|
||||
\advance\w by-\yB\raise\w\HB{\rS{#1}$\mS3\frac{#2}{#3}$}}}
|
||||
|
||||
\nc\restr[2]{{\lt.#1\rt|}_{#2}} %% restriction; value at #2
|
||||
\nc\tr{\mathop{\txt00{tr}}}
|
||||
|
||||
%% Math symbols:
|
||||
\nc\e{\mathrm{e}} %% e = 2.718281828459...
|
||||
\nc\dd{\mathrm{d}} \nc\ddd{\bit\d} %% differential d
|
||||
\nc\pd\partial
|
||||
\def\lta#1{{\overset{{\scriptscriptstyle \leftarrow}}{#1}}}
|
||||
\def\rta#1{{\overset{{\scriptscriptstyle \rightarrow}}{#1}}}
|
||||
\def\nablal{\lta{\nabla}}
|
||||
\def\nablar{\rta{\nabla}}
|
||||
\nc\ql{\lambda}
|
||||
\nc\xv{\underline{x}}
|
||||
\nc\yv{\underline{y}}
|
||||
\nc\rn{\mathbb{R}^n}
|
||||
\nc\rk{\mathbb{R}^k}
|
||||
\nc\Ker{\textrm{Ker }}
|
||||
\nc\im{\textrm{Im }}
|
||||
\nc\biz{\subsubsection*{Bizonyítás}}
|
||||
\nc\ttl{\subsection{Tétel}}
|
||||
\nc\df{\subsection{Definíció}}
|
||||
\nc\al{\subsection{Állítás}}
|
||||
\nc{\alatt}[2]{
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
#1\\
|
||||
#2
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\usepackage{tkz-berge}
|
||||
|
||||
\usepackage{mathtools}
|
||||
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
|
||||
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
|
||||
%%%%%%%%%% \mathbf{}=vastagít \mathrm{}=felállít
|
||||
\def\changemargin#1#2{\list{}{\rightmargin#2\leftmargin#1}\item[]}
|
||||
\let\endchangemargin=\endlist
|
||||
Loading…
Reference in a new issue