From e4ed6470a4837a5798cd25380fa278dbd43c93e4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Bazsalanszky Date: Sun, 14 Jun 2020 20:40:38 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?13.=20t=C3=A9tel=20f=C3=A9lk=C3=A9sz?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- bsz2.org | 70 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--- 1 file changed, 67 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/bsz2.org b/bsz2.org index d17e004..f6c221c 100644 --- a/bsz2.org +++ b/bsz2.org @@ -297,7 +297,7 @@ A $K_{3,3}$ nem tartalmaz 3 hosszú utat, így alkalmazható a [[*Becslés az élek számára háromszögmentes gráfban]] tétel.A $K_{3,3}\text{-nak}$ 6 csúcsa és 9 éle van: $9>2\cdot6-4=8$,ez ellentmondás,azaz a $K_{3,3}$ sem rajzolható síkba. -** Síkbabarjzolható gráfok dualitása +** TODO Síkbabarjzolható gráfok dualitása * Euler- és Hamilton körök $\protect \footnote{ \cite{kv} alapján.}$ ** Definíció @@ -365,7 +365,7 @@ Hamilton-útból elhagyunk $k$ pontot, legfeljebb $k+1$ összefüggő marad. ** Tétel(Ore) Ha az $n$ pontú $G$ gráfban minden olyan $x, y \in V (G)$ pontpárra, amelyre - ${x, y}\in E(G)$ \footnote{Tehát szomszédosak} teljesül az is, hogy $d(x) + d(y) \geq + ${x, y} \notin E(G)$ \footnote{Tehát szomszédosak} teljesül az is, hogy $d(x) + d(y) \geq n$, akkor a gráfban van Hamilton-kör. *** Bizonyítás Indirekten tegyük fel,hogy a gráf kielégíti a feltételt,de nincs benne @@ -411,7 +411,7 @@ ** Tétel(Zykov konstrukciója) Minden $k\geq2$ esetén létezik olyan $G_k$ gráf, amire $\omega(G_k ) = 2$ és $\chi(G_k ) = k$. -*** Bizonyítás +*** TODO Bizonyítás *NEM, KÖSZÖNÖM MÁR JÓLLAKTAM!* ** Állítás Legyen $G$ (hurokélmentes) gráf és jelölje $\Delta(G)$ a $G$ -beli maximális @@ -1186,6 +1186,70 @@ Keressük meg a $s \rightarrow v$ legrövidebb utat! utak mennek bele,amelyek elérhetőek $s\text{-ből}$ és ezek közül kiválasztjuk a legkisebb súlyút. Ez az algoritmus leghosszabb út keresésére is alkalmazható. +* Mélységi keresés +** Az algoritmus +Vegyünk egy tetszőleges $G$ gráfot, és válasszunk ki egy tetszőleges $s$ +csúcsot. Az algoritmus futtatásakor három változót is fenntartunk: A mélységi +számát(hány csúcsban járt már;Jele: $d(v)$), befejezési szám(hány csúcs lett +befejezve;Jele: $f(v)$) és az legutóbb bejárt csúcsot(Jele: $m(v)$). A +kiválasztott $s$ csúcsból kiindulva véletlenszerűen választunk a gráfból egy élt(ami olyan +csúcsba vezet,ahol még nem jártunk),amerre mehetünk. Ezt addig folytatjuk,amíg +lehetséges. Minden egyes csúcsbalépéskor növeljük a mélységi számot. Ha az +algoritmus eljut egy olyan csúcsig,amiből nem vezet több út,akkor egyel +visszalép,és növeli a befejezési számot. Ha a gráf nem összefüggő és az +algoritmus az adott komponensben már nem tud tovább lépni, akkor az eddig nem +bejárt csúcsok közül választ egy tetszőlegest. +** DFS erdő +A DFS által bejárt élek egy erdőt alkotnak. +** Definíció + Tegyük fel, hogy az $s$ csúcsból indítva lefuttattuk a DFS algoritmust +a $G$ irányított gráfban. Jelölje a futáshoz tartozó DFS-erdőt $F$. Legyen $e = (u, v)$ +a $G\text{-nek}$ egy tetszőleges éle. Ekkor +1. $e\text{-t}$ faélnek nevezzük, ha $e \in E(F)$; +2. $e\text{-t}$ előreélnek nevezzük, ha nem faél, de $F$-ben van $u$ -ból $v$ -be irányított út + (vagyis $v$ „leszármazottja” $u$ -nak); +3. $e\text{-t}$ visszaélnek nevezzük, ha $F$ -ben van $v$ -ből $u$ -ba irányított út (vagyis $v$ + „őse” $u$ -nak); +4. $e\text{-t}$ keresztélnek nevezzük, ha $F$ -ben sem $u$ -ból $v$ -be, sem $v$ + -ből $u$ -ba nincs irányított út (vagyis $u$ és $v$ között nincs „egyenes ági + leszármazási viszony”). +** Tétel +Tegyük fel, hogy a $G$ irányított gráfra a DFS algoritmust futtatva az +éppen az $e = (a, v)$ élen próbál továbblépni (így az aktív csúcs jelenleg $a$). Ekkor +$e$ erre a DFS bejárásra vonatkozóan akkor és csak akkor lesz +1. Faél, ha $d(v) = ∗$; +2. Előreél, ha $d(v) > d(a)$; +3. Visszaél, ha $d(v) < d(a)$ és $f(v) = ∗$; +4. Keresztél, ha $d(v) < d(a)$ és $f(v) \neq ∗$. +*** Bizonyítás +- Ha $d(v)=*$,akkor $m(v)=a$,tehát $e$ valóban faél. +- Egészítsük ki az algoritmust egy $T$ változóval, ami az eltelt időt + jelenti. Ezzel minden $v$ csúcshoz hozzárendelhetünk egy $kezd(v)$ kezdési + időt,és egy $bef(v)$ befejezési időt. A kettő közti intervallumot + $I(v)\text{-tel}$ jelöljük +- Az eljárás során, $T$ változót mindig növeljük meg, ha belépünk egy új csúcsba. +- Először vegyük észre,hogy ha veszünk egy $I(v)$ időintervallumot, akkor ehhez + megfeleltethetünk egy $F_v$ fát,amit ez alatt jár be. Ez egy részgráf lesz + $F\text{-nek}$. +- Tegyük fel hogy az $(a,v)$ élen a $T$ pillanatban próbál továbblépni. Ekkor + $kezd(a)\leq T \leq bef(a)$. +- Ha $d(v)>d(a)$, akkor $kezd(a)$ pillanatban $d(v)=*$ volt,így $v \in F_a$,azaz + $e$ egy előreél +- Ha $d(v)