From f35c4cebb9f4af8915a6fd80a6c82030ca63dfe8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Bazsalanszky Date: Thu, 11 Jun 2020 20:46:54 +0200 Subject: [PATCH] Added even more proofs --- bsz2.org | 128 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------ 1 file changed, 116 insertions(+), 12 deletions(-) diff --git a/bsz2.org b/bsz2.org index 65d5070..5c53f31 100644 --- a/bsz2.org +++ b/bsz2.org @@ -385,7 +385,7 @@ különböző színt kell kapnia.Így legalább $\omega(G)$ színt használ,teh Minden $k\geq2$ esetén létezik olyan $G_k$ gráf, amire $\omega(G_k ) = 2$ és $\chi(G_k ) = k$. *** Bizonyítás -\section*{NEM, KÖSZÖNÖM MÁR JÓLLAKTAM!} + *NEM, KÖSZÖNÖM MÁR JÓLLAKTAM!* ** Állítás Legyen $G$ (hurokélmentes) gráf és jelölje $\Delta(G)$ a $G$ -beli maximális fokszámot (vagyis a $G$ -beli csúcsok fokszámai közül a legnagyobbat). Ekkor a @@ -416,8 +416,25 @@ intervallumrendszer reprezentálja. Ekkor ha az ${I_1 ,I_2,\dots, I_n }$ intervallumokat a baloldali végpontjuk szerinti növekvő sorrendbe rendezzük és $G$ csúcsainak erre a sorrendjére hajtjuk végre a mohó színezést, akkor az eljárás $G$ -t optimális számú, $\chi(G)$ színnel színezi meg. +*** Bizonyítás +Jelölje a mohó színezés által használt színek számát $k$. Ekkor a következő +igaz lesz rá: +\begin{align} +k\leq\omega(G)\leq&\underbrace{\chi(G)\leq k}_\text{$k$ szín elég volt} +\end{align} +Megmutatjuk hogy a legnagyobb klikk($\omega(G)$) ilyenkor pontosan $k$. Nézzük +az első olyan $I_j$ intervallumot,amely a $k.$ színt kapta az eljárásban. Ekkor +bal végpontja benne van a korábbi $I_t,I_{t+1},\dots, I_{t+k-1}$ +intervallumokban. Ezek az $I_j$ intervallummal egy $k$ csúcsú klikket +alkotnak,azaz $\omega(G)=k=\chi(G)$. *** Következmény Ha $G$ intervallumgráf, akkor rá $\omega(G) = \chi(G)$ teljesül. +*** Következmény bizonyítása +Minden intervallumgráfhoz tartozik $k$ darab szín,amivel már kiszínezhető. Az +előző tételből pedig láttuk,hogy $k=\omega(G)$. Így adódik a következő: +\begin{align} +k\leq\omega(G)\leq&\chi(G)\leq k +\end{align} ** Definíció A $G$ gráfot páros gráfnak nevezzük, ha a $V(G)$ csúcshalmaza felbontható az $A$ és $B$ diszjunkt halmazok egyesítésére úgy, hogy a $G$ minden éle egy $A$ -beli @@ -427,10 +444,20 @@ helyett a $G = (A, B; E)$ jelölést is használjuk. ** Tétel A $G$ gráf akkor és csak akkor páros gráf, ha nem tartalmaz páratlan hosszú kört. + +*** Bizonyítás +Ha $G$ páros gráf, és $C$ egy kör $G\text{-ben}$,akkor $C$ pontjai felváltva +vannak $A\text{-ban}$ és $B\text{-ben}$,így $V(C)$ nyilván páros. Ha $G$ minden +köre páros,akkor megadhatunk egy $A$ és $B$ halmazt. Választunk egy tetszőleges +pontot. Ez lesz az $A$ halmaz első pontja. A szomszédjait $B$ halmazba +tesszük. A $B$ halmazbeliek szomszédait $A$ halmazba tesszük,és ezeket a +lépéseket addig ismételjük, amíg az össze pont bekerült az egyik halmazba. Ez +biztosan jó elosztás lesz,hiszen ha például $A$ halmazban lenne két +szomszédos,akkor lenne benne páratlan kör,így ellentmondásra jutnánk. ** Állítás Minden $k \geq 1$ egész esetén létezik olyan ($2k$ csúcsú) $G$ gráf és a $G$ csúcsainak egy olyan sorrendje, hogy $\chi(G) = 2$, de a mohó színezést a $G$ -re a csúcsoknak ebben a sorrendjében futtatva az eljárás $k$ színt használ. -* Párosítások +* Független/Lefogó pont-/élhalmaz $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$ ** Definíció A $G$ gráfban az $M\subseteq E(G)$ élhalmazt párosításnak vagy független élhalmaznak nevezzük, ha ($M$ nem tartalmaz hurokélt és) $M$ semelyik két élének @@ -447,6 +474,12 @@ ponthalmaz. A $G$ -beli minimális lefogó ponthalmazok méretét $\tau(G)$ jel ** Állítás Minden $G$ gráfra $\nu(G)\leq\tau(G)$ teljesül. +*** Bizonyítás +Legyen $|M|=\nu(G)$ és $|X|=\tau(G)$.$X$ minden élnek legalább az egyik végpontját +tartalmazza,így nyilván $M$ éleire is teljesül. Azonban ugyanaz az +$X\text{-beli}$ csúcs nem illeszkedhet két $M-\text{-beli}$ élre is,mert $M$ +/párosítás/. Tehát, minden $M\text{-beli}$ élre $X\text{-beli}$ csúcsnak kell +illeszkedni,így $|M|\leq |X|$ ** Definíció A $G$ gráf csúcsainak egy $Y\subseteq V(G)$ halmazát független ponthalmaznak nevezzük, ha $Y$ -nak semelyik két tagja nem szomszédos $G$ -ben (és $Y$ -beli csúcsra hurokél sem illeszkedik). A $G$ -beli független ponthalmazok közül a maximálisaknak a méretét $\alpha(G)$ jelöli. ** Definíció @@ -454,28 +487,94 @@ Minden $G$ gráfra $\nu(G)\leq\tau(G)$ teljesül. halmazát lefogó élhalmaznak nevezzük, ha a $G$ -nek minden csúcsára illeszkedik legalább egy $Z$ -beli él. A $G$ -beli lefogó élhalmazok közül a minimálisaknak a méretét $\rho(G)$ jelöli. ** Állítás -Minden (izolált pontot nem tartalmazó) $G$ gráfra $\alpha(G)\leq\rho(G)$ teljesül. +Minden (izolált pontot nem tartalmazó) $G$ gráfra $\alpha(G)\leq\rho(G)$ +teljesül. +*** Bizonyítás +Legyen $Y$ egy maximális független ponthalmaz és $Z$ egy minimális lefogó +élhalmaz. Mivel $Z$ lefogó élhalmaz,minden csúcsra illeszkedik $Z\text{-beli}$ +él,de két $Y\text{-beli}$ csúcsot nem köthet össze egy $Z-\text{-beli}$. Így +$|Y|\leq |Z|$ és így tehát $\alpha(G)\leq\rho(G)$ ** Állítás Legyen $G$ tetszőleges gráf, $X\subseteq V(G)$ csúcshalmaz és $Y = V (G) \ X$ az $X$ komplementere. Ekkor az $X$ pontosan akkor minimális lefogó ponthalmaz $G$ -ben, ha $Y$ maximális független ponthalmaz $G$ -ben. -** Állítás +*** Bizonyítás +Legyen $H\subseteq V(G)\text{ és } \overline{H}=V(G)/H$ +csúcshalmazok. Megmutatjuk hogy $H$ pontosan akkor lefogó ponthalmaz,ha +$\overline{H}$ független ponthalmaz. Az,hogy $H$ lefogó ponthalmaz, az azt +jelenti,hogy $G$ gráfnak minden ${u,v}$ élére $u\in H$ és/vagy $v\in H$ +teljesül. Tehát, nincs olyan ${u,v}$ él,hogy $u\in \overline{H}$ és $v\in +\overline{H}$. Ez pedig pontosan azt jelenti,hogy $\overline{H}$ független +ponthalmaz. + +Tegyük fel,hogy $X$ minimális lefogó ponthalmaz,ebből következik hogy +$Y=\overline{X}$ független ponthalmaz. Ha nem volna az,akkor létezne egy +másik,maximális független $Y_1$ ponthalmaz(tehát $|Y_1|>|Y|$). Ekkor viszont +létezne $X\text{-nél}$ kisebb lefogó ponthalmaz,ami ellentmond a feltevésnek. + +Hasonlóan belátható a másik irányba is. +** Lemma Legyen $G$ egy $n$ csúcsú, izolált pontot nem tartalmazó gráf, $k$ pedig tetszőleges nemnegatív egész. Ekkor: - ha $G$ -ben van $k$ élű párosítás, akkor $G$ -ben van legföljebb $n-k$ élű lefogó élhalmaz; - ha $G$ -ben van $k$ élű lefogó élhalmaz, akkor $G$ -ben van legalább $n-k$ élű párosítás. +*** Bizonyítás +Legyen $M$ egy $k$ élű párosítás. Minden olyan $v$ csúcsot esetén,amit $M$ nem fed le, +válasszunk egy tetszőleges $v\text{-re}$ illeszkedő élt és egészítsük ki +$M\text{-et}$; a kapott élhalmazt jelölje $Z$. Mivel $M$ összesen $2k$ végpontja +van, így $n-2k$ élt nem fed le. Így $|Z|\leq k+(n-2k)=n-k$ +Legyen $Z$ egy $k$ élű lefogó halmaz $G\text{-ben}$ és $H=(V(G),Z)$ +gráf. Ha van $H$ gráfban izolált pont, akkor azokhoz rendeljünk egy hurokélt. +Jelölje $c$ a $H$ legalább két csúcsból álló komponenseinek számát. Mivel +a komponensek nyilván összefüggő,így legalább $n_i-1$ éle van. Ezért a legalább +két csúcsú komponensek együttes élszáma legalább $n-c$. Ezekből $l\geq +n-c\implies c\geq n-k$ + +Most vegyük $H$ minden legalább két csúcsú komponenséből egy-egy tetszőleges +élt(amin nem hurokél). A kapott élhalmazt jelölje $M$. Ekkor $|M|=c\geq +n-k$,valamint $M$ nyilván párosítás,hiszen különböző komponensekből vett éleknek +nem lehet közös végpontja. ** Gallai tétele Minden $n$ csúcsú $G$ gráfra fennállnak az alábbiak: - $\alpha(G)+\tau(G) =n$ - $\nu(G)+\rho(G)=n$,ha G-nek nincs izolált pontja. +*** Bizonyítás +Ha $X$ egy minimális lefogó ponthalmaz, akkor $Y=V(G)/X$ maximális független +ponthalmaz. Mivel $|X|=\tau(G)$ és $|Y|=\alpha(G)$, valamint $|X|+|Y|=n$,így /(i)/ +állítás tényleg igaz. +Legyen $M$ egy maximális, $\nu(G)$ élű párosítás. Ekkor az előző tétel alapján: +\begin{align} +\rho(G)&\leq n-\nu(G)\\ + \rho(G)+\nu(G)&\leq n +\end{align} + +Most legyen $Z$ egy minimális,$\rho(G)$ élű párosítás. Ekkor az előző tétel +alapján: +\begin{align} +\nu(G)&\geq n-\rho(G) \\ +\nu(G)+\rho(G)&\geq n +\end{align} + +A kettőt összevetve pont a /(ii)/ állítást kapjuk. ** Összefoglaló táblázat | | Maximális független | Minimális lefogó | Összeg | | pont | $\alpha$ | $\tau$ | $n$ | | él | $\nu$ | $\rho$ | $n$ | +** Tutte tétele +A $G$ gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha a csúcsok minden +$X\subseteq V(G)$ részhalmazára $c_p (G - X) \leq |X|$ teljesül. +Más szóval: pontosan akkor létezik teljes párosítás $G$ gráfban,ha +$G\text{-ből}$ bárhogyan $k$ darab csúcsot elhagyva a kapott gráfban páratlan +sok csúcsú komponenseinek száma legfeljebb $k$. + +*** TODO Bizonyítás + + +* Párosítások $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$ ** Definíció Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$ -ben. Ekkor egy $G$ -beli $P$ út javítóút $M$ -re nézve, ha rá az alábbiak teljesülnek: @@ -484,10 +583,14 @@ egy $G$ -beli $P$ út javítóút $M$ -re nézve, ha rá az alábbiak teljesüln (2) $P$ egy $M$ által nem fedett $B$ -beli csúcsban ér véget; -(3) $P$ -nek minden páros sorszámú éle (tehát a második, negyedik stb.) $M$ -beli. +(3) $P$ -nek minden páros sorszámú éle (tehát a második, negyedik stb.) $M$ +-beli. ** Definíció\label{def1} Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$ -ben. A -$G$ -beli $P$ utat alternáló útnak hívjuk, ha rá a \ref{def1}. Definíció (1) és (3) követelményei teljesülnek (de a (2) nem feltétlenül). Más szóval: alternáló útnak az olyan utakat nevezzük, amelyek párosítás által nem fedett $A$ -beli csúcsból indulnak és minden második élük $M$ -beli. +$G$ -beli $P$ utat alternáló útnak hívjuk, ha rá a \ref{def1}. Definíció (1) és +(3) követelményei teljesülnek (de a (2) nem feltétlenül). Más szóval: alternáló +útnak az olyan utakat nevezzük, amelyek párosítás által nem fedett $A$ -beli +csúcsból indulnak és minden második élük $M$ -beli. ** Lemma Tegyük fel, hogy a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút $G$ -ben. Vezessük be az alábbi jelöléseket: @@ -500,7 +603,8 @@ lefedettek, de nem vezet hozzájuk alternáló út). (4) Jelölje $B_2$ , illetve $B_3$ az $A_2$, illetve $A_3$ csúcsainak $M$ szerinti párjaiból álló $B$ -beli csúcsok halmazait. -Ekkor $G$ -nek nincs olyan éle, amely $A_1 \cup A_2$ és $B_1 \cup B_3$ között vezet. +Ekkor $G$ -nek nincs olyan éle, amely $A_1 \cup A_2$ és $B_1 \cup B_3$ között +vezet. ** Tétel Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút, akkor $M$ maximális párosítás $G$ -ben. @@ -509,19 +613,19 @@ Minden $G$ páros gráfra $\nu(G) = \tau(G)$ teljesül. *** Következmény Ha a $G$ páros gráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor rá $\alpha(G) = \rho(G)$ teljesül. ** Definíció -Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $X\subseteq A$ egy tetszőleges részhalmaza $A$ -nak. Ekkor az $X$ szomszédságának nevezzük és $N(X)$ -szel jelöljük a $B$ -nek azt a részhalmazát, amely azokból a $B$ -beli csúcsokból áll, amelyeknek van (legalább egy) szomszédja $X$ -ben. Képletben: +Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $X\subseteq A$ egy tetszőleges részhalmaza +$A$ -nak. Ekkor az $X$ szomszédságának nevezzük és $N(X)$ -szel jelöljük a $B$ +-nek azt a részhalmazát, amely azokból a $B$ -beli csúcsokból áll, amelyeknek +van (legalább egy) szomszédja $X$ -ben. Képletben: $$N(X) = \{b\in B : \exists a \in X, {a, b} \in E(G) \}$$ ** Tétel - A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A$ -t lefedő +A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A$ -t lefedő párosítás, ha minden $X\subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül. *** Következmény (Frobenius tétele) A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha $|A| = |B|$ és minden $X \subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül. *** Következmény Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf d-reguláris, ahol $d \geq 1$ tetszőleges egész, akkor $G$ -ben van teljes párosítás. -** Tutte tétele -A $G$ gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha a csúcsok minden -$X\subseteq V(G)$ részhalmazára $c_p (G - X) \leq |X|$ teljesül. * Gráfok élszínezése $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$ ** Definíció Legyen $G$ egy gráf és $k \geq 1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel élszínezhető, ha a $G$ minden éle kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$