From 0172ab72cb50a97efd9689e529b9f430d0fd097c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Bazsalanszky Date: Thu, 7 May 2020 11:29:14 +0200 Subject: [PATCH] Updated main.tex for the exam --- main.tex | 87 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------ 1 file changed, 78 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/main.tex b/main.tex index e35c807..58599d2 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -48,7 +48,7 @@ {#2}:~%%year {\textit{#3}}%%title {#4}%%others - {#5}%%others +v {#5}%%others {#6}%%others {#7}.%%others } @@ -354,9 +354,9 @@ \def\changemargin#1#2{\list{}{\rightmargin#2\leftmargin#1}\item[]} \let\endchangemargin=\endlist -\title{Bevezetés a számelméletbe 2 jegyzet} +\title{Bevezetés a számelméletbe 2 Spellbook} \author{Toldi Balázs Ádám } -\date{Február 2020} +\date{Május 2020} \begin{document} @@ -463,7 +463,7 @@ G körmentes, n csúcsú gráf. Ekkor legfeljebb n-1 éle van G-nek. Minden legalább 2 csúcsú fának van levele. \subsection{Feszítőfa} $G$-nek $F$ feszítőfája, ha $F$ fa és $F$ részgráfja G-nek,$F$ minden csúcsot tartalmaz. -\section{Euler- és Hamilton körök} +\section{Euler- és Hamilton körök\protect\footnote{\cite{kv} alapján.}} \subsection{Definíció} A $G$ gráf Euler-körének nevezünk egy zárt élsorozatot, ha az élsorozat pontosan egyszer tartalmazza $G$ összes élét. Ha az élsorozat nem feltétlenül zárt, akkor Euler-utat kapunk. \ttl @@ -478,7 +478,7 @@ Ha a G gráfban létezik $k$ olyan pont, amelyeket elhagyva a gráf több mint $ Ha az n pontú G gráfban minden olyan $x, y \in V (G)$ pontpárra, amelyre ${x, y} \in E(G)$ teljesül az is, hogy $d(x) + d(y) \geq n$, akkor a gráfban van Hamilton-kör. \subsection{Tétel(Dirac)} Ha egy n pontú G gráfban minden pont foka legalább $n/2$, akkor a gráfban létezik Hamilton–kör. -\section{Gráfok síkbarajzolhatósága} +\section{Gráfok síkbarajzolhatósága\protect\footnote{\cite{kv} alapján.}} \df Ha egy gráf lerajzolható a síkba úgy, hogy az élei ne messék egymást, akkor a gráf síkbarajzolható. A síkbarajzolt gráf a síkot tartományokra osztja. Hasonlóan definiáljuk a gömbre rajzolható gráfot. \ttl @@ -489,7 +489,7 @@ Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf és pontjainak száma legalább 3, akk Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf, minden körének a hossza legalább 4 és pontjainak száma legalább 4, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq2n-4$. \ttl Egy gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, amely topologikusan izomorf $K_{3,3}$ -mal vagy $K_5$-tel. -\section{Gráfok színezése} +\section{Gráfok színezése\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}} \df Legyen $G$ egy gráf és $k\geq1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel színezhető, ha a $G$ minden csúcsa kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$ bármely két szomszédos csúcsának a színe különböző. A $G$ kromatikus száma $k$, ha $G$ $k$ színnel színezhető, de $(k - 1)$-gyel már nem. $G$ kromatikus számának a jele: @@ -561,7 +561,7 @@ Minden $n$ csúcsú $G$ gráfra fennállnak az alábbiak: \item $\nu(G)+\rho(G)=n$,ha G-nek nincs izolált pontja. \end{itemize} -\section{Összefoglaló táblázat} +\subsection{Összefoglaló táblázat} \begin{table}[th] \begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline @@ -616,7 +616,7 @@ Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf d-reguláris, ahol $d \geq 1$ tetszőleges eg \subsection{Tutte tétele} A $G$ gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha a csúcsok minden $X\subseteq V(G)$ részhalmazára $c_p (G - X) \leq |X|$ teljesül. -\section{Gráfok élszínezése} +\section{Gráfok élszínezése\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}} \df Legyen $G$ egy gráf és $k \geq 1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel élszínezhető, ha a $G$ minden éle kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$ bármely két szomszédos (vagyis közös csúcsra illeszkedő) élének a színe különböző. A $G$ élkromatikus száma $k$, ha $G$ $k$ színnel élszínezhető, de $(k - 1)$-gyel már nem. G élkromatikus számának a jele: $\chi_e(G)$. @@ -626,10 +626,79 @@ Minden (hurokélmentes) $G$ gráfra $\Delta(G) \leq\chi_e(G)$ teljesül. Minden G egyszerű gráfra $\chi_e(G) \leq \Delta(G) + 1$ teljesül. \subsection{Kőnig élszínezési tétele} Minden $G = (A, B; E)$ páros gráfra $\chi_e(G) = \Delta(G)$ teljesül. -\section{A maximális folyam} +\section{A maximális folyam\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}} \df Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, annak az $s,t\in V(G)$ egymástól különböző csúcsai és a $c : E \rightarrow \mathbb{R}^+$ kapacitás függvény (ami tehát minden $e\in E$ élhez egy nemnegatív $c(e)$ kapacitás értéket rendel). Ekkor a $(G, s,t, c)$ négyest hálózatnak nevezzük. \df +Egy adott $(G, s,t, c)$ hálózat esetén folyamnak nevezzük az $f : E \rightarrow \mathbb{R}^+$ függvényt, ha rá az alábbi feltételek teljesülnek: + +(1) $0 \leq f (e) \leq c(e)$ minden $e \in E(G)$ él esetén; + +(2) +\begin{equation} + \sum_{e:v\rightarrow}^{} f(e)=\sum_{e:v\leftarrow}^{} f(e) \text{ minden } v\in V,v\ne s,t \text{ csúcs esetén} +\end{equation} +\df +A $(G, s,t, c)$ hálózatban adott $f$ folyam $m_f$ -fel jelölt értéke: +\begin{equation} + m_f=\sum_{e: + s\rightarrow}^{} f(e)=\sum_{e:s\leftarrow}^{} f(e) +\end{equation} +\df + Legyen $f$ folyam a $(G, s,t, c)$ hálózatban. Ekkor az $f$-hez tartozó $H_f$ segédgráfot a következő képpen definiáljuk. $H_f$ irányított gráf, amelyre $V (H_f ) = V (G)$, vagyis $H_f$ csúcsainak halmaza azonos $G$ csúcshalmazával. Továbbá $H_f$ élhalmazába kétféle típusú él kerül: +\begin{itemize} +\item Ha $e = (u, v)$ olyan éle $G$-nek, amelyre $f (e) < c(e)$, akkor $e = (u, v)$ a $H_f$ élhalmazába is bekerül; az ilyen élek neve előreél. +\item Ha $e = (u, v)$ olyan éle $G$-nek, amelyre $f (e) > 0$, akkor $e$ megfordítása, az $e0 = (v, u)$ él kerül be $H_f$ élhalmazába; az ilyen élek neve pedig visszaél. +\end{itemize} +\df +Legyen $f$ folyam a $(G, s,t, c)$ hálózatban. Ekkor a $H_f$ -beli, $s$-ből +$t$-be vezető irányított utakat javítóútnak nevezzük $f$-re nézve. +\al +Ha $f$ folyam, akkor a javítóutas algoritmus $8$. sorában végrehajtott +változtatások után is az marad és $m_f$ értéke $\delta$-val nő. +\df +A $(G, s,t, c)$ hálózatban $st$-vágásnak nevezzük az $X\subseteq V(G)$ csúcshalmazt, ha rá $s\in X$ és $t\notin X$ teljesül. Ha a szövegkörnyezetből $s$ és $t$ szerepe egyértelmű, akkor $st$-vágás helyett $X$-et röviden vágásnak is hívjuk. +\al +Ha $f$ tetszőleges folyam, $X$ pedig tetszőleges vágás a $(G, s,t, c)$ hálózatban, akkor +$$m_f=\sum \{f(e)\text{: kilép } X\text{-ből}\}-\sum \{f(e)\text{: belép } X\text{-be}\} $$ +\df +A $(G, s,t, c)$ hálózatban az $X$ $st$-vágás $c(X)$-szel jelölt kapacitása a +$$c(X)=\sum \{f(e)\text{: kilép } X\text{-ből}\}$$ +összeg (ahol a fentieknek megfelelően $e = (u, v)$ az $X$-ből kilépő él, ha $u\in X$ és +$v\notin X$). A vágás kapacitását a vágás értékének is szokták nevezni. +\al +Ha $f$ tetszőleges folyam, $X$ pedig tetszőleges vágás a $(G, s,t, c)$ hálózatban, akkor $m_f \leq c(X)$. +\ttl +Ha a $(G, s,t, c)$ hálózatban az $f$ folyamra nézve nincs javítóút, akkor +$f$ maximális folyam (vagyis nincs $m_f$ -nél nagyobb értékű folyam). +\ttl +Ha a $G$ gráf $n$ csúcsú és $m$ élű és a $(G, s,t, c)$ hálózatban a maximális +folyam keresésére szolgáló javítóutas algoritmus futása során $H_f$-ben mindig az +egyik legrövidebb (vagyis legkevesebb élű) $s$-ből $t$-be vezető irányított utat választjuk +javítóútnak, akkor az eljárás legföljebb $n\cdot m$ javító lépés után megáll. +\subsection{Ford-Fulkerson Tétel} +Bármely $(G,s,t,c)$ hálózatra +$$\text{max}\{m_f:f\text{ folyam}\} = \text{min} \{ c(X):X\text{ }st\text{vágás}$$, +vagyis a hálózatbeli maximális folyam értéke megegyezik az $st$-vágások kapacításának minimumával. +\subsection{Egészértékűségi lemma} +Tegyük fel, hogy a $(G, s,t, c)$ hálózatban minden $e\in E(G)$ élre $c(e)\in\mathbb{Z}$. Ekkor + +(i) létezik olyan $f$ maximális folyam a hálózatban, amelyre $f (e)\in\mathbb{Z}$ minden +$e\in E(G)$ élre és + +(ii) ilyen egészértékű maximális folyam a javítóutas algoritmussal található. +\clearpage +\begin{thebibliography}{99} +%\begin{itemize} +%\item \href{https://www.interkonyv.hu/konyvek/?isbn=978-963-9664-19-7}{Katona Gyula – Recski András – Szabó Csaba: A számítástudomány alapjai} +% \item \href{http://cs.bme.hu/bsz2/bsz2_jegyzet.pdf}{Bevezetés a Számításelméletbe 2 Ideiglenes egyetemi jegyzet} + %\end{itemize} +\bibitem[1]{kv} +\bibentry{Katona Gyula – Recski András – Szabó Csaba, }{(2002)}{A számítástudomány alapjai, }{Budapest, }{Typotex Kiadó}{}{} + +\bibitem[2]{hj} +\bibentry{Szeszlér Dávid, }{(2019)}{Bevezetés a Számításelméletbe 2 - Ideiglenes egyetemi jegyzet a koronavírus járvány idején zajló távoktatáshoz, }{Budapest, }{\url{http://cs.bme.hu/bsz2/bsz2_jegyzet.pdf}}{}{} +\end{thebibliography} \end{document}