Updated main.tex
This commit is contained in:
parent
0dfc334a56
commit
4eaf92f1dd
1 changed files with 178 additions and 42 deletions
220
main.tex
220
main.tex
|
|
@ -91,7 +91,7 @@
|
|||
\usepackage[sectionbib]{chapterbib}
|
||||
|
||||
|
||||
\def\re#1{(\ref{#1})} %% Note: AMSTeX's \eqref also does (\ref{#1})
|
||||
\def\re#1{(\ref{#1})} %% Note: AMSTex's \eqref also does (\ref{#1})
|
||||
\def\are#1{\az+\re{#1}} \def\Are#1{\Az+\re{#1}} %% these three lines
|
||||
\def\tre#1#2{\told\re{#1}+#2{}} %% for Hungarian texts
|
||||
\def\atre#1#2{\atold\re{#1}+#2{}} \def\Atre#1#2{\Atold\re{#1}+#2{}}
|
||||
|
|
@ -101,17 +101,17 @@
|
|||
\newcommand\nc{\newcommand*} \nc\longnc{\newcommand}
|
||||
|
||||
%% Shorthands, to save space, typing and mistyping:
|
||||
\let\X\hskip \let\Y\vskip \let\Z\kern %% positioning
|
||||
\def\x#1{\X#1em} \def\y#1{\Y#1ex}
|
||||
\def\XX#1{\HB to#1{\ }} \def\YY#1{\setbox1\HB to0em{\ }\RB{#1}}
|
||||
\def\xx#1{\XX{#1em}} \def\yy#1{\YY{#1ex}}
|
||||
\let\x\hskip \let\y\vskip \let\Z\kern %% positioning
|
||||
\def\x#1{\x#1em} \def\y#1{\y#1ex}
|
||||
\def\xx#1{\HB to#1{\ }} \def\yy#1{\setbox1\HB to0em{\ }\RB{#1}}
|
||||
\def\xx#1{\xx{#1em}} \def\yy#1{\yy{#1ex}}
|
||||
\let\xph\hphantom \let\yph\vphantom \let\ph\phantom
|
||||
\let\HB\hbox \def\SB{\setbox1\HB} \def\CB{\copy1} %% for temporary
|
||||
\def\SC{\setbox2\HB} \def\CC{\copy2} %% boxes
|
||||
\def\RB#1{\raise#1\CB} \def\XB{\wd1} \def\YB{\ht1} \def\ZB{\dp1}
|
||||
\def\RC#1{\raise#1\CC} \def\XC{\wd2} \def\YC{\ht2} \def\ZC{\dp2}
|
||||
\def\UB{\Z-\XB} \def\VB{\CB\UB} \def\WB#1{\RB{#1}\UB} %% puts out and
|
||||
\def\UC{\Z-\XC} \def\VC{\CC\UC} \def\WC#1{\RC{#1}\UC} %% steps back
|
||||
\def\RB#1{\raise#1\CB} \def\xB{\wd1} \def\yB{\ht1} \def\ZB{\dp1}
|
||||
\def\RC#1{\raise#1\CC} \def\xC{\wd2} \def\yC{\ht2} \def\ZC{\dp2}
|
||||
\def\UB{\Z-\xB} \def\VB{\CB\UB} \def\WB#1{\RB{#1}\UB} %% puts out and
|
||||
\def\UC{\Z-\xC} \def\VC{\CC\UC} \def\WC#1{\RC{#1}\UC} %% steps back
|
||||
\newcount\n \newdimen\w \newdimen\h %% for numbers, widths, heights
|
||||
\def\mathsizes#1#2#3{\mathchoice{#1}{#1}{#2}{#3}} %% the 3 math sizes
|
||||
|
||||
|
|
@ -139,7 +139,7 @@
|
|||
{\HB{#1}}{\HB{\tS1#1}}{\HB{\tS0#1}}}} %% fonts within formulas
|
||||
\nc\txt[3]{\mskip#1mu %% #1, #2: space before and
|
||||
\textinmath{#3}\mskip#2mu\relax } %% after, #3: text to put out
|
||||
\nc\mathcl\mathcal %% standard LaTeX version
|
||||
\nc\mathcl\mathcal %% standard LaTex version
|
||||
\def\mathBf#1{{\mathsizes{\HB{\boldmath %% bf nonletters, bf it letters
|
||||
{$#1$}}}{\HB{\boldmath{$\mS2#1$}}}{\HB{\boldmath{$\mS3#1$}}}}}
|
||||
\nc\mathBF[1]{{\h=.03ex{\mathsizes
|
||||
|
|
@ -313,14 +313,14 @@
|
|||
\nc\ffff{\largerfrac{-3}} \nc\fFFF{\largerfrac{+3}} %% larger
|
||||
\nc\fffff{\largerfrac{-4}} \nc\fFFFF{\largerfrac{+4}} %% fractions
|
||||
\nc\largerfrac[3]{\mathchoice %% \frac at a type size larger by #1
|
||||
{\SB{$\mS0\vcenter{}$}\w=\YB\SB{\rS{#1}$\mS0\vcenter{}$}
|
||||
\advance\w by-\YB\raise\w\HB{\rS{#1}$\mS0\frac{#2}{#3}$}}
|
||||
{\SB{$ \vcenter{}$}\w=\YB\SB{\rS{#1}$ \vcenter{}$}
|
||||
\advance\w by-\YB\raise\w\HB{\rS{#1}$ \frac{#2}{#3}$}}
|
||||
{\SB{$\mS2\vcenter{}$}\w=\YB\SB{\rS{#1}$\mS2\vcenter{}$}
|
||||
\advance\w by-\YB\raise\w\HB{\rS{#1}$\mS2\frac{#2}{#3}$}}
|
||||
{\SB{$\mS3\vcenter{}$}\w=\YB\SB{\rS{#1}$\mS3\vcenter{}$}
|
||||
\advance\w by-\YB\raise\w\HB{\rS{#1}$\mS3\frac{#2}{#3}$}}}
|
||||
{\SB{$\mS0\vcenter{}$}\w=\yB\SB{\rS{#1}$\mS0\vcenter{}$}
|
||||
\advance\w by-\yB\raise\w\HB{\rS{#1}$\mS0\frac{#2}{#3}$}}
|
||||
{\SB{$ \vcenter{}$}\w=\yB\SB{\rS{#1}$ \vcenter{}$}
|
||||
\advance\w by-\yB\raise\w\HB{\rS{#1}$ \frac{#2}{#3}$}}
|
||||
{\SB{$\mS2\vcenter{}$}\w=\yB\SB{\rS{#1}$\mS2\vcenter{}$}
|
||||
\advance\w by-\yB\raise\w\HB{\rS{#1}$\mS2\frac{#2}{#3}$}}
|
||||
{\SB{$\mS3\vcenter{}$}\w=\yB\SB{\rS{#1}$\mS3\vcenter{}$}
|
||||
\advance\w by-\yB\raise\w\HB{\rS{#1}$\mS3\frac{#2}{#3}$}}}
|
||||
|
||||
\nc\restr[2]{{\lt.#1\rt|}_{#2}} %% restriction; value at #2
|
||||
\nc\tr{\mathop{\txt00{tr}}}
|
||||
|
|
@ -434,7 +434,7 @@ $$(1+1)^n=2^n=\sum_{i=0}^{n}1^i\cdot 1^{n-i}\cdot\bigl( \begin{smallmatrix*}n\\i
|
|||
\subsection{Egyszerű gráfok}
|
||||
Olyan gráf,amely nem tartalmaz hurok- és párhuzamos éleket.
|
||||
\subsection{Részgráf}
|
||||
$G'(V',G')$ gráf részgráfja $G(V,E)$-nek,ha $V'\leq V$,$E'\leq E$ és minedn $E'$-beli él vlgpontja $V'$ elemei.
|
||||
$G'(V',G')$ gráf részgráfja $G(V,E)$-nek,ha $V'\leq V$,$E'\leq E$ és minedn $E'$-beli él végpontja $V'$ elemei.
|
||||
\subsection{Állítás}
|
||||
A fokok összege az élek számának kétszerese.
|
||||
\subsection{Teljes gráf}
|
||||
|
|
@ -465,35 +465,171 @@ Minden legalább 2 csúcsú fának van levele.
|
|||
$G$-nek $F$ feszítőfája, ha $F$ fa és $F$ részgráfja G-nek,$F$ minden csúcsot tartalmaz.
|
||||
\section{Euler- és Hamilton körök}
|
||||
\subsection{Definíció}
|
||||
A G gráf Euler-körének nevezünk egy zárt élsorozatot, ha az él-
|
||||
sorozat pontosan egyszer tartalmazza G összes élét. Ha az élsorozat nem feltétlenül
|
||||
zárt, akkor Euler-utat kapunk.
|
||||
A $G$ gráf Euler-körének nevezünk egy zárt élsorozatot, ha az élsorozat pontosan egyszer tartalmazza $G$ összes élét. Ha az élsorozat nem feltétlenül zárt, akkor Euler-utat kapunk.
|
||||
\ttl
|
||||
Egy összefüggő G gráfban akkor és csak akkor van Euler-kör, ha G
|
||||
minden pontjának fokszáma páros.
|
||||
Egy összefüggő $G$ gráfban akkor és csak akkor van Euler-kör, ha $G$ minden pontjának fokszáma páros.
|
||||
\ttl
|
||||
Egy összefüggő G gráfban akkor és csak akkor van Euler-út, ha G-ben
|
||||
a páratlan fokú pontok száma 0 vagy 2.
|
||||
Egy összefüggő $G$ gráfban akkor és csak akkor van Euler-út, ha $G$-ben a páratlan fokú pontok száma $0$ vagy $2$.
|
||||
\df
|
||||
Egy G gráfban Hamilton-körnek nevezünk egy H kört, ha G min-
|
||||
den pontját (pontosan egyszer) tartalmazza. Egy utat pedig Hamilton-útnak neve-
|
||||
zünk, ha G minden pontját pontosan egyszer tartalmazza.
|
||||
Egy $G$ gráfban Hamilton-körnek nevezünk egy $H$ kört, ha $G$ minden pontját (pontosan egyszer) tartalmazza. Egy utat pedig Hamilton-útnak nevezünk, ha $G$ minden pontját pontosan egyszer tartalmazza.
|
||||
\ttl
|
||||
Ha a G gráfban létezik k olyan pont, amelyeket elhagyva a gráf több
|
||||
mint k komponensre esik, akkor nem létezik a gráfban Hamilton-kör. Ha létezik
|
||||
k olyan pont, amelyeket elhagyva a gráf több mint k + 1 komponensre esik, akkor
|
||||
nem létezik a gráfban Hamilton-út.
|
||||
Ha a G gráfban létezik $k$ olyan pont, amelyeket elhagyva a gráf több mint $k$ komponensre esik, akkor nem létezik a gráfban Hamilton-kör. Ha létezik $k$ olyan pont, amelyeket elhagyva a gráf több mint $k + 1$ komponensre esik, akkor nem létezik a gráfban Hamilton-út.
|
||||
\subsection{Tétel(Ore)}
|
||||
Ha az n pontú G gráfban minden olyan x, y ∈ V (G) pontpárra,
|
||||
amelyre {x, y} ∈ E(G) teljesül az is, hogy d(x) + d(y) ≥ n, akkor a gráfban van
|
||||
Hamilton-kör.
|
||||
\subsection{Tétel(Divac)}
|
||||
Ha egy n pontú G gráfban minden pont foka legalább n/2,
|
||||
akkor a gráfban létezik Hamilton–kör.
|
||||
Ha az n pontú G gráfban minden olyan $x, y \in V (G)$ pontpárra, amelyre ${x, y} \in E(G)$ teljesül az is, hogy $d(x) + d(y) \geq n$, akkor a gráfban van Hamilton-kör.
|
||||
\subsection{Tétel(Dirac)}
|
||||
Ha egy n pontú G gráfban minden pont foka legalább $n/2$, akkor a gráfban létezik Hamilton–kör.
|
||||
\section{Gráfok síkbarajzolhatósága}
|
||||
\df
|
||||
Ha egy gráf lerajzolható a síkba úgy, hogy az élei ne messék egy-
|
||||
mást, akkor a gráf síkbarajzolható. A síkbarajzolt gráf a síkot tartományokra
|
||||
osztja. Hasonlóan definiáljuk a gömbre rajzolható gráfot.
|
||||
Ha egy gráf lerajzolható a síkba úgy, hogy az élei ne messék egymást, akkor a gráf síkbarajzolható. A síkbarajzolt gráf a síkot tartományokra osztja. Hasonlóan definiáljuk a gömbre rajzolható gráfot.
|
||||
\ttl
|
||||
Euler formula: Ha egy összefüggő síkbeli gráfnak $n$ csúcsa, $e$ éle és $t$ tartománya van (beleértve a külső, nem korlátos tartományt is), akkor eleget tesz az Euler-formulának: $n-e+t = 2$.
|
||||
\ttl
|
||||
Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf és pontjainak száma legalább 3, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq3n-6$.
|
||||
\ttl
|
||||
Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf, minden körének a hossza legalább 4 és pontjainak száma legalább 4, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq2n-4$.
|
||||
\ttl
|
||||
Egy gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, amely topologikusan izomorf $K_{3,3}$ -mal vagy $K_5$-tel.
|
||||
\section{Gráfok színezése}
|
||||
\df
|
||||
Legyen $G$ egy gráf és $k\geq1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel színezhető, ha a $G$ minden csúcsa kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$ bármely két szomszédos csúcsának a színe különböző. A $G$ kromatikus száma $k$, ha
|
||||
$G$ $k$ színnel színezhető, de $(k - 1)$-gyel már nem. $G$ kromatikus számának a jele:
|
||||
$\chi(G)$.
|
||||
\df
|
||||
A $G$ gráfot páros gráfnak nevezzük, ha a $V(G)$ csúcshalmaza felbontható az $A$ és $B$ diszjunkt halmazok egyesítésére úgy, hogy a $G$ minden éle egy
|
||||
$A$-beli csúcsot köt össze egy $B$-belivel. Ilyenkor a szokásos $G = (V ; E)$ jelölés helyett a $G = (A, B; E)$ jelölést is használjuk.
|
||||
\ttl
|
||||
A $G$ gráf akkor és csak akkor páros gráf, ha nem tartalmaz páratlan
|
||||
hosszú kört.
|
||||
\al
|
||||
Minden $k \geq 1$ egész esetén létezik olyan ($2k$ csúcsú) $G$ gráf és a $G$ csúcsainak egy olyan sorrendje, hogy $\chi(G) = 2$, de a mohó színezést a $G$-re a
|
||||
csúcsoknak ebben a sorrendjében futtatva az eljárás $k$ színt használ.
|
||||
\al
|
||||
Legyen $G$ (hurokélmentes) gráf és jelölje $\Delta(G)$ a $G$-beli maximális
|
||||
fokszámot (vagyis a $G$-beli csúcsok fokszámai közül a legnagyobbat). Ekkor a mohó színezést a csúcsok tetszőleges sorrendjében végrehajtva az legföljebb $\Delta(G) + 1$
|
||||
színt használ.
|
||||
\subsubsection{Következmény}
|
||||
Minden (hurokélmentes) $G$ gráfra $\chi(G)\leq\Delta(G) + 1$.
|
||||
\df
|
||||
A $G$ gráf klikkszáma $k$, ha $G$-ben található $k$ darab csúcs úgy, hogy ezek közül bármely kettő szomszédos, de $k + 1$ ilyen csúcs már nem található.
|
||||
$G$ klikkszámának a jele: $\omega(G)$.
|
||||
\al
|
||||
Minden (hurokélmentes) $G$ gráfra $\omega(G) \leq \chi(G)$ teljesül.
|
||||
\ttl
|
||||
Minden $k\geq2$ esetén létezik olyan $G_k$ gráf, amire $\omega(G_k ) = 2$ és
|
||||
$\chi(G_k ) = k$.
|
||||
\df
|
||||
A $G$ egyszerű gráfot akkor nevezzük intervallumgráfnak, ha léteznek a számegyenesen olyan $I_1 , I_2 ,\dots, I_n \subseteq \mathbb{R}$ (korlátos és zárt) intervallumok, hogy $G$ ezekből megkapható a következő módon: $G$ csúcsai megfelelnek az intervallumoknak és két különböző csúcs pontosan akkor szomszédos $G$-ben, ha a két megfelelő intervallumnak van közös pontja. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az ${I_1,I_2 ,\dots, I_n }$
|
||||
\ttl
|
||||
Legyen $G$ intervallumgráf és tegyük fel, hogy $G$-t az ${I_1 , I_2 ,\dots, I_n }$
|
||||
intervallumrendszer reprezentálja. Ekkor ha az ${I_1 ,I_2,\dots, I_n }$ intervallumokat a baloldali végpontjuk szerinti növekvő sorrendbe rendezzük és $G$ csúcsainak erre a
|
||||
sorrendjére hajtjuk végre a mohó színezést, akkor az eljárás $G$-t optimális számú,
|
||||
$\chi(G)$ színnel színezi meg.
|
||||
\subsubsection{Következmény}
|
||||
Ha $G$ intervallumgráf, akkor rá $\omega(G) = \chi(G)$ teljesül.
|
||||
\df
|
||||
A $G$ gráfban az $M\subseteq E(G)$ élhalmazt párosításnak vagy független
|
||||
élhalmaznak nevezzük, ha ($M$ nem tartalmaz hurokélt és) $M$ semelyik két élének
|
||||
nincs közös végpontja. Az $M$ maximális párosítás, ha $G$-nek nincs $|M|$-nél nagyobb
|
||||
méretű párosítása; a $G$-beli maximális párosítások méretét $\nu(G)$ jelöli. Az M független élhalmaz teljes párosítás, ha $G$ minden csúcsára illeszkedik $M$-beli él.
|
||||
\df
|
||||
A $G$ gráf csúcsainak egy $X\subseteq V(G)$ halmazát lefogó ponthalmaznak nevezzük, ha $G$ minden élének legalább az egyik végpontja $X$-beli. Az $X$ minimális lefogó ponthalmaz, ha $G$-ben nincs $|X|$-nél kisebb lefogó ponthalmaz. A $G$-beli minimális lefogó ponthalmazok méretét $\tau(G)$ jelöli.
|
||||
\al
|
||||
Minden $G$ gráfra $\nu(G)\leq\tau(G)$ teljesül.
|
||||
\df
|
||||
A $G$ gráf csúcsainak egy $Y\subseteq V(G)$ halmazát független ponthalmaznak nevezzük, ha $Y$-nak semelyik két tagja nem szomszédos $G$-ben (és $Y$ -beli csúcsra hurokél sem illeszkedik). A $G$-beli független ponthalmazok közül a maximálisaknak a méretét $\alpha(G)$ jelöli.
|
||||
\df
|
||||
Az izolált pontot nem tartalmazó $G$ gráf éleinek egy $Z\subseteq E(G)$
|
||||
halmazát lefogó élhalmaznak nevezzük, ha a $G$-nek minden csúcsára illeszkedik
|
||||
legalább egy $Z$-beli él. A $G$-beli lefogó élhalmazok közül a minimálisaknak a méretét $\rho(G)$ jelöli.
|
||||
\al
|
||||
Minden (izolált pontot nem tartalmazó) $G$ gráfra $\alpha(G)\leq\rho(G)$ teljesül.
|
||||
\al
|
||||
Legyen $G$ tetszőleges gráf, $X\subseteq V(G)$ csúcshalmaz és $Y = V (G) \ X$
|
||||
az $X$ komplementere. Ekkor az $X$ pontosan akkor minimális lefogó ponthalmaz
|
||||
$G$-ben, ha $Y$ maximális független ponthalmaz $G$-ben.
|
||||
\al
|
||||
Legyen $G$ egy $n$ csúcsú, izolált pontot nem tartalmazó gráf, $k$ pedig tetszőleges nemnegatív egész. Ekkor:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item ha $G$-ben van $k$ élű párosítás, akkor $G$-ben van legföljebb $n-k$ élű lefogó élhalmaz;
|
||||
\item ha $G$-ben van $k$ élű lefogó élhalmaz, akkor $G$-ben van legalább $n-k$ élű
|
||||
párosítás.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection{Gallai tétele}
|
||||
Minden $n$ csúcsú $G$ gráfra fennállnak az alábbiak:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\alpha(G)+\tau(G) =n$
|
||||
\item $\nu(G)+\rho(G)=n$,ha G-nek nincs izolált pontja.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\section{Összefoglaló táblázat}
|
||||
\begin{table}[th]
|
||||
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
|
||||
\hline
|
||||
& Maximális független & Minimális lefogó & Összeg \\ \hline
|
||||
pont & $\alpha$ & $\tau$ & $n$ \\ \hline
|
||||
él & $\nu$ & $\rho$ & $n$ \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
\df
|
||||
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$-ben. Ekkor
|
||||
egy $G$-beli $P$ út javítóút $M$-re nézve, ha rá az alábbiak teljesülnek:
|
||||
|
||||
(1) $P$ egy $M$ által nem fedett $A$-beli csúcsból indul;
|
||||
|
||||
(2) $P$ egy $M$ által nem fedett $B$-beli csúcsban ér véget;
|
||||
|
||||
(3) $P$-nek minden páros sorszámú éle (tehát a második, negyedik stb.) $M$-beli.
|
||||
\df\label{def1}
|
||||
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$-ben. A
|
||||
$G$-beli $P$ utat alternáló útnak hívjuk, ha rá a \ref{def1}. Definíció (1) és (3) követelményei teljesülnek (de a (2) nem feltétlenül). Más szóval: alternáló útnak az olyan utakat nevezzük, amelyek párosítás által nem fedett $A$-beli csúcsból indulnak és minden második élük $M$-beli.
|
||||
\subsection{Lemma}
|
||||
Tegyük fel, hogy a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút $G$-ben. Vezessük be az alábbi jelöléseket:
|
||||
|
||||
(1) jelölje $A_1$ , illetve $B_1$ az $M$ által nem fedett $A$, illetve $B$-beli csúcsok halmazát;
|
||||
|
||||
(2) jelölje $A_2$ azoknak az ($M$ által fedett) $A$-beli csúcsoknak a halmazát, amelyekbe vezet alternáló út;
|
||||
|
||||
(3) jelölje $A_3$ a maradék $A$-beli csúcsoknak a halmazát (amelyek tehát $M$ által
|
||||
lefedettek, de nem vezet hozzájuk alternáló út).
|
||||
|
||||
(4) Jelölje $B_2$ , illetve $B_3$ az $A_2$, illetve $A_3$ csúcsainak $M$ szerinti párjaiból álló $B$-beli csúcsok halmazait.
|
||||
|
||||
Ekkor $G$-nek nincs olyan éle, amely $A_1 \cup A_2$ és $B_1 \cup B_3$ között vezet.
|
||||
\ttl
|
||||
Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút,
|
||||
akkor $M$ maximális párosítás $G$-ben.
|
||||
\subsubsection{Következmény (Kőnig tétele)}
|
||||
Minden $G$ páros gráfra $\nu(G) = \tau(G)$ teljesül.
|
||||
\subsubsection{Következmény}
|
||||
Ha a $G$ páros gráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor rá $\alpha(G) = \rho(G)$ teljesül.
|
||||
\df
|
||||
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $X\subseteq A$ egy tetszőleges részhalmaza $A$-nak. Ekkor az $X$ szomszédságának nevezzük és $N(X)$-szel jelöljük a $B$-nek azt a részhalmazát, amely azokból a $B$-beli csúcsokból áll, amelyeknek van (legalább egy) szomszédja $X$-ben. Képletben:
|
||||
$$N(X) = \{b\in B : \exists a \in X, {a, b} \in E(G) \}$$
|
||||
\ttl
|
||||
A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A$-t lefedő
|
||||
párosítás, ha minden $X\subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
|
||||
\subsubsection{Következmény (Frobenius tétele)}
|
||||
A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha
|
||||
$|A| = |B|$ és minden $X \subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
|
||||
\subsubsection{Következmény}
|
||||
Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf d-reguláris, ahol $d \geq 1$ tetszőleges egész, akkor $G$-ben van teljes párosítás.
|
||||
\subsection{Tutte tétele}
|
||||
A $G$ gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha a csúcsok minden
|
||||
$X\subseteq V(G)$ részhalmazára $c_p (G - X) \leq |X|$ teljesül.
|
||||
\section{Gráfok élszínezése}
|
||||
\df
|
||||
Legyen $G$ egy gráf és $k \geq 1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel élszínezhető, ha a $G$ minden éle kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$
|
||||
bármely két szomszédos (vagyis közös csúcsra illeszkedő) élének a színe különböző. A $G$ élkromatikus száma $k$, ha $G$ $k$ színnel élszínezhető, de $(k - 1)$-gyel már nem. G élkromatikus számának a jele: $\chi_e(G)$.
|
||||
\al
|
||||
Minden (hurokélmentes) $G$ gráfra $\Delta(G) \leq\chi_e(G)$ teljesül.
|
||||
\subsection{Vizing tétele}
|
||||
Minden G egyszerű gráfra $\chi_e(G) \leq \Delta(G) + 1$ teljesül.
|
||||
\subsection{Kőnig élszínezési tétele}
|
||||
Minden $G = (A, B; E)$ páros gráfra $\chi_e(G) = \Delta(G)$ teljesül.
|
||||
\section{A maximális folyam}
|
||||
\df
|
||||
Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, annak az $s,t\in V(G)$
|
||||
egymástól különböző csúcsai és a $c : E \rightarrow \mathbb{R}^+$ kapacitás függvény (ami tehát minden $e\in E$ élhez egy nemnegatív $c(e)$ kapacitás értéket rendel). Ekkor a $(G, s,t, c)$ négyest hálózatnak nevezzük.
|
||||
\df
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue