\documentclass[12pt,a4paper,twoside]{report}
%\usepackage{geometry} 


%\headheight 0mm
%\headsep 10mm

\linespread{1.1}

%nyelvtani specialitasok
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar,english]{babel}
\usepackage{times}
\usepackage{amsfonts}

%matematikai csomagok
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}


%abrak, grafika
\usepackage{graphicx}
%\usepackage[draft]{graphicx}
\usepackage{caption}
\usepackage{epstopdf}
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{appendix}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{float}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{color} 
\usepackage{setspace}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{tikz} 
\usepackage{array}
\usepackage{fixltx2e}
% Starred variant
\titleformat{name=\section,numberless}
{\normalfont\Large\bfseries}
{}
{0pt}
{}

\newcommand{\bibentry}[7]{
	{\textsc{#1}}%%author
	{#2}:~%%year
	{\textit{#3}}%%title
	{#4}%%others
	{#5}%%others
	{#6}%%others
	{#7}.%%others
}


\makeatletter
\if0\magyar@opt@@figurecaptions\@@magyar@skiplong\fi
\if1\magyar@opt@@figurecaptions
\def\@@magyar@fnum@figure{\textit{\thesection-\thefigure.~\figurename}}%
\else \def\@@magyar@fnum@figure{\figurename\nobreakspace\thefigure}\fi
\expandafter\addto\csname extras\CurrentOption\endcsname{%
	\babel@save\fnum@figure\let\fnum@figure\@@magyar@fnum@figure}
\@gobble
{^}
\makeatother

\frenchspacing
\sloppy

\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}

\setcounter{tocdepth}{3}
\setcounter{secnumdepth}{5}




%\usepackage{titlesec}

%\titlespacing*{\section}                                                                      %\titlespacing*{<command>}{<left>}{<before-sep>}{<after-sep>}
%{0pt}{18pt plus 1ex minus 1ex}{6pt plus 1ex minus 1ex}
%\titlespacing*{\subsection}
%{0pt}{18pt plus 1ex minus 1ex}{6pt plus 1ex minus 1ex}
%\titlespacing*{\subsubsection}
%{0pt}{12pt plus 1ex minus 1ex}{6pt plus 1ex minus 1ex}
%\titlespacing*{\paragraph}
%{0pt}{6pt plus 1ex minus 1ex}{3pt plus 1ex minus 1ex}

\usepackage[nottoc,numbib]{tocbibind}
\usepackage[sectionbib]{chapterbib}


\def\re#1{(\ref{#1})} %% Note: AMSTex's \eqref also does (\ref{#1})
\def\are#1{\az+\re{#1}} \def\Are#1{\Az+\re{#1}} %% these three lines
\def\tre#1#2{\told\re{#1}+#2{}} %% for Hungarian texts
\def\atre#1#2{\atold\re{#1}+#2{}} \def\Atre#1#2{\Atold\re{#1}+#2{}}



\newcommand\nc{\newcommand*} \nc\longnc{\newcommand}

%% Shorthands, to save space, typing and mistyping:
\let\x\hskip \let\y\vskip \let\Z\kern %% positioning
\def\x#1{\x#1em} \def\y#1{\y#1ex}
\def\xx#1{\HB to#1{\ }} \def\yy#1{\setbox1\HB to0em{\ }\RB{#1}}
\def\xx#1{\xx{#1em}} \def\yy#1{\yy{#1ex}}
\let\xph\hphantom \let\yph\vphantom \let\ph\phantom
\let\HB\hbox \def\SB{\setbox1\HB} \def\CB{\copy1} %% for temporary
\def\SC{\setbox2\HB} \def\CC{\copy2} %% boxes
\def\RB#1{\raise#1\CB} \def\xB{\wd1} \def\yB{\ht1} \def\ZB{\dp1}
\def\RC#1{\raise#1\CC} \def\xC{\wd2} \def\yC{\ht2} \def\ZC{\dp2}
\def\UB{\Z-\xB} \def\VB{\CB\UB} \def\WB#1{\RB{#1}\UB} %% puts out and
\def\UC{\Z-\xC} \def\VC{\CC\UC} \def\WC#1{\RC{#1}\UC} %% steps back
\newcount\n \newdimen\w \newdimen\h %% for numbers, widths, heights
\def\mathsizes#1#2#3{\mathchoice{#1}{#1}{#2}{#3}} %% the 3 math sizes

%% Sizes:
\nc\tS[1]{\ifcase#1\tiny\or %% type sizes: \tS0 = \tiny, ...
	\scriptsize\or\footnotesize\or\small\or\normalsize\or\large\or
	\Large\or\LARGE\or\huge\or\Huge\else\ifnum#1<0\tiny\else\Huge\fi\fi}
\makeatletter %% ideas credited to relsize.sty
\nc\cS{\ifx\@currsize\normalsize %% current type size, as 0 .. 9
	4\else\ifx\@currsize\small 3\else\ifx\@currsize\footnotesize
	2\else\ifx\@currsize\large 5\else\ifx\@currsize\Large
	6\else\ifx\@currsize\LARGE 7\else\ifx\@currsize\scriptsize
	1\else\ifx\@currsize\tiny 0\else\ifx\@currsize\huge
	8\else\ifx\@currsize\Huge 9\else 4\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi}
\DeclareRobustCommand\rS[1]{\ifmmode\@nomath\rS\else %% increases type
	\@tempcnta\cS\advance\@tempcnta#1\relax\tS\@tempcnta} %% size by #1
\makeatother
\def\mS#1{\ifcase#1\displaystyle\or %% \ms0 = \displaystyle, ...
	\textstyle\or\scriptstyle\or\scriptscriptstyle\else\textstyle\fi}
\nc\dS[1]{\csname\ifcase#1relax\or %% delimiter sizes, \big if 2, ...
	relax\or big\or Big\or bigg\or Bigg\fi\endcsname}

%% Fonts:
\nc\textinmath[1]{{\mathsizes %% for texts and text
		{\HB{#1}}{\HB{\tS1#1}}{\HB{\tS0#1}}}} %% fonts within formulas
\nc\txt[3]{\mskip#1mu %% #1, #2: space before and
	\textinmath{#3}\mskip#2mu\relax } %% after, #3: text to put out
\nc\mathcl\mathcal %% standard LaTex version
\def\mathBf#1{{\mathsizes{\HB{\boldmath %% bf nonletters, bf it letters
				{$#1$}}}{\HB{\boldmath{$\mS2#1$}}}{\HB{\boldmath{$\mS3#1$}}}}}
\nc\mathBF[1]{{\h=.03ex{\mathsizes
			{\w=.020em\SB{$ #1$}\WB\h\Z\w\VB\WB{2\h}\Z2\w\VB\WB{2\h}\Z\w\RB\h}
			{\w=.018em\SB{$\mS2#1$}\WB\h\Z\w\VB\WB{2\h}\Z2\w\VB\WB{2\h}\Z\w\RB\h}
			{\w=.016em\SB{$\mS3#1$}\WB\h\Z\w\VB\WB{2\h}\Z2\w\VB\WB{2\h}\Z\w\RB\h}}}}

%% Text writing:
%\nc\re[1]{(\ref{#1})} %% shorter to type than the amsmath \eqref
\nc\rp\pageref \nc\rb\cite
\nc\chap[2]{\chapter{#2}\label{#1}}
\nc\chaP[3]{\chapter[#3]{#2}\label{#1}}
\nc\sect[2]{{\section{#2}\label{#1}}}
\nc\secT[3]{\section[#3]{#2}\label{#1}}
\nc\ssect[2]{\subsection{#2}\label{#1}}
\nc\ssecT[3]{\subsection[#3]{#2}\label{#1}}
\nc\sssect[2]{\subsubsection{#2}\label{#1}}
\nc\sssecT[3]{\subsubsection[#3]{#2}\label{#1}}
\longnc\quot[1]{`#1'} \longnc\quott[1]{``#1''} %% English quotes
\longnc\idezz[1]{,,#1''} %% Hungarian quote
\longnc\idezzz[1]{\raisebox{.22ex} %% quote as >>something<<
	{$\mS3\gg$}#1\raisebox{.22ex}{$\mS3\ll$}}
\nc\emp\textit %% emphasizing
\nc\lat\textit %% latin: i.e. e.g. in situ 
\nc\ie{\lat{i.e.,\ }} \nc\etal{\lat{et al.\ }} \nc\etc{\lat{etc.\ }}
\nc\eg{\lat{e.g.,\ }} \nc\insitu{\lat{in situ}} \nc\QED{\lat{Q.E.D.}}
\nc\cf{cf.\ } \nc\wrt{w.r.t.\ }
%\nc\lhs{l.h.s.\ } \nc\rhs{r.h.s.\ }
\nc\lhs{lhs} \nc\rhs{rhs}
\nc\st[1]{\overset{\bitt\raisebox{-.2ex}[0ex][0ex]{$\mS2*$}}{#1}}

%% Abrak %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\unitlength=.5pt %% pici: egesz tobbszoroseivel lehessen finomhangolni
%% Aritmetika, szamlalok helyett parancs valtozokkal:
%% pl. \cca , \ccb , ... valtozoneveket hasznalni;
\def\set#1#2{\xdef#1{#2}} %\newcount\n
\def\add#1#2{\n=#1\advance \n by #2\xdef#1{\the\n}}
\def\sub#1#2{\n=#1\advance \n by-#2\xdef#1{\the\n}} 
\def\mul#1#2{\n=#1\multiply\n by #2\xdef#1{\the\n}}
\def\div#1#2{\n=#1\divide \n by #2\xdef#1{\the\n}}
\def\setadd#1#2#3{\set{#1}{#2}\add{#1}{#3}}
\def\setsub#1#2#3{\set{#1}{#2}\sub{#1}{#3}}
\def\setmul#1#2#3{\set{#1}{#2}\mul{#1}{#3}}
\def\setdiv#1#2#3{\set{#1}{#2}\div{#1}{#3}}
\def\addadd#1#2#3{\add{#1}{#2}\add{#1}{#3}}
\def\addsub#1#2#3{\add{#1}{#2}\sub{#1}{#3}}
\def\subsub#1#2#3{\sub{#1}{#2}\sub{#1}{#3}}
\def\muladd#1#2#3{\mul{#1}{#2}\add{#1}{#3}}
\def\mulsub#1#2#3{\mul{#1}{#2}\sub{#1}{#3}}
\def\muldiv#1#2#3{\mul{#1}{#2}\div{#1}{#3}}
\def\divadd#1#2#3{\div{#1}{#2}\add{#1}{#3}}
\def\divsub#1#2#3{\div{#1}{#2}\sub{#1}{#3}}
\def\setaddadd#1#2#3#4{\setadd{#1}{#2}{#3}\add{#1}{#4}}
\def\setaddsub#1#2#3#4{\setadd{#1}{#2}{#3}\sub{#1}{#4}}
\def\setsubsub#1#2#3#4{\setsub{#1}{#2}{#3}\sub{#1}{#4}}
\def\setmuladd#1#2#3#4{\setmul{#1}{#2}{#3}\add{#1}{#4}}
\def\setmulsub#1#2#3#4{\setmul{#1}{#2}{#3}\sub{#1}{#4}}
\def\setmuldiv#1#2#3#4{\setmul{#1}{#2}{#3}\div{#1}{#4}}
\def\setdivadd#1#2#3#4{\setdiv{#1}{#2}{#3}\add{#1}{#4}}
\def\setdivsub#1#2#3#4{\setdiv{#1}{#2}{#3}\sub{#1}{#4}}
\let\bez\qbezier %% Now comes an alternative convention to \qbezier :
%% instead of the second point, the tangent vectors at the first
%% and third points are to be given (with integer coordinates):
%% Usage: \beztan{x1}{y1}{ux}{uy}{x3}{y3}{vx}{vy} 
\def\beztan#1#2#3#4#5#6#7#8{\setsub{\nP}{#5}{#1}\setsub{\nQ}{#6}{#2}%
	\setmul{\nR}{\nP}{#8}\setmul{\nS}{\nQ}{#7}\setsub{\nP}{\nR}{\nS}\setmul
	{\nR}{#3}{#8}\setmul{\nS}{#4}{#7}\setsub{\nQ}{\nR}{\nS}\setmul{\nR}{#3}
	{\nP}\div{\nR}{\nQ}\setmul{\nS}{#4}{\nP}\div{\nS}{\nQ}\add{\nR}{#1}\add
	{\nS}{#2}\bez(#1,#2)(\nR,\nS)(#5,#6)}
%% The same, adding \qbezier 's optional number of points:
%% Usage: \beztann{numpoints}{x1}{y1}{ux}{uy}{x3}{y3}{vx}{vy} 
\def\beztann#1#2#3#4#5#6#7#8#9{\setsub{\nP}{#6}{#2}\setsub{\nQ}{#7}{#3}%
	\setmul{\nR}{\nP}{#9}\setmul{\nS}{\nQ}{#8}\setsub{\nP}{\nR}{\nS}\setmul
	{\nR}{#4}{#9}\setmul{\nS}{#5}{#8}\setsub{\nQ}{\nR}{\nS}\setmul{\nR}{#4}
	{\nP}\div{\nR}{\nQ}\setmul{\nS}{#5}{\nP}\div{\nS}{\nQ}\add{\nR}{#2}\add
	{\nS}{#3}\bez[#1](#2,#3)(\nR,\nS)(#6,#7)}
\def\mut{\multiput}
\def\nb{\makebox(0,0)} %% \put needs a box: \put(9,7){\nb[t]{$x$}}}

%% Formula handling:
\nc\m[1]{\scase=0$ #1 $} %% space around an in-text formula
\nc\mm[1]{\m{ \, #1 \, }} %% Tip: always use \m{...}
\nc\mmm[1]{\m{ \,\, #1 \,\, }} %% instead of $...$, thus later
\nc\mmmm[1]{\m{ \,\,\, #1 \,\,\, }} %% you can add space easily.
\nc\M[3]{\scase=0$ %% finer and unequal spaces
	\mskip#1mu#3\mskip#2mu$} %% around an in-text formula


%% Some journals don't accept amsmath, some others recommend it...
%% Making the switch between amsmath and non-amsmath easier:
\makeatletter\@ifpackageloaded{amsmath}{
	%% Equations: amsmath definitions:
	\def\eq#1#2{ \scase=1 \begin{alignn} \elabel{#1} #2 \end{alignn}}
	%% eq/array, #1: label, #2: formula.
	\def\eqa{\eq} %% same, only for compatibility with non-amsmath
	\def\eqn#1#2{ \scase=1 \begin{alignn} \elabel{#1} \non #2 \end{alignn}}
	%% unnumbered equation (still let's give it a label!)
	\def\eqan{\eqn} %% same, only for compatibility with non-amsmath
	\def\lel#1{ \\ \elabel{#1} } %% line break within equation
	\def\leln#1{\\ \elabel{#1} \non} %% same, non-numbered line (still label it!)
	\def\tagg{\tag*{}} %% auxiliary, see above
	%% Shorthands for some other amsmath macros:
	\def\mat#1{\begin{matrix} #1 \end{matrix}}
	\def\smat#1{\begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix}}
}{
	%% Equations: non-amsmath definitions:
	\def\eq#1#2{ \scase=0\begin{equation} \elabel{#1} #2 \end{equation}}
	\def\eqa#1#2{ \scase=2\begin{eqnarray} \elabel{#1} #2 \end{eqnarray}}
	\def\eqn#1#2{ \scase=0\begin{displaymath} \elabel{#1} #2 \end{displaymath}}
	\def\eqan#1#2{\scase=2\begin{eqnarray} \elabel{#1} \non #2 \end{eqnarray}}
	\def\lel#1{\ifnum\scase=2\else\erroreqaneeded\fi \\ \elabel{#1}}
	\def\leln#1{\ifnum\scase=2\else\erroreqaneeded\fi \\ \elabel{#1} \non}
	\def\tagg{\nonumber} %% auxiliary, see above.
	%% Other macros: non-amsmath version:
	\def\lvert{|} \def\rvert{|} \def\lVert{\|} \def\rVert{\|}
	\def\mat#1{{\def\\{\cr}\matrix{#1}}} %% not elegant, just struggling
	\def\smat#1{\hbox{\scriptsize{$\mat{#1}$}}} %% also a minimal solution
}\makeatother %% whether amsmath was loaded.

%% Write \s= instead of = in equations. Its meaning will be:
%% = in \m, \mm, \mmm, \mmmm and \eq as non-amsmath equation,
%% &= in \eq and \eqa as amsmath alignn
%% &=& in \eqa as non-amsmath eqnarray
%% (Naturally, it works for < > etc. as well.)
\newcount\scase \def\7{&} \def\s#1{\ifcase\scase#1\or\7#1\or\7#1\7\fi}

\def\smatup{\yy{1.9 }} \def\smatdn{\yy{-.8 }} %% in \smat, these add
\def\smatupdn{\smatup\smatdn} %% distance between lines

%% Brackets: size and shape
%% \0 = \left(...\right) but with no extra spaces around
%% \1 = (...)
%% \2 = \big(...\big) \3 = \Big(...\Big)
%% \4 = \bigg(...\bigg) \5 = \Bigg(...\Bigg)
%% \9 = \left(...\right) (ordinary)
%% #1 = shape: 0 no bracket 2 [ ] 4 < > 6 | |
%% 1 ( ) 3 \{ \} 5 \langle \rangle 7 \| \|
\nc\0[2]{\ifcase#1{#2}\or\lt(#2\rt)\or\lt[{#2}\rt]\or\lt\{{#2}\rt\}\or
	\mathord<{#2}\mathord>\or\lt\langle{#2}\rt\rangle\or\lt\lvert{#2}\rt
	\rvert\or\lt\lVert{#2}\rt\rVert\fi}
\nc\1[2]{\ifcase#1{#2}\or(#2)\or[#2]\or\{#2\}\or\mathord<{#2}\mathord
	>\or\langle{#2}\rangle\or\lvert{#2}\rvert\or\lVert{#2}\rVert\fi}
\nc\2[2]{\ifcase#1{#2}\or\big(#2\big)\or\big[#2\big]\or\big
	\{#2\big\}\or\big<#2\big>\or\big\langle#2\big\rangle\or\big
	\lvert#2\big\rvert\or\big\lVert#2\big\rVert\fi}
\nc\3[2]{\ifcase#1{#2}\or\Big(#2\Big)\or\Big[#2\Big]\or\Big\{#2\Big
	\}\or\Big<#2\Big>\or\Big\langle#2\Big\rangle\or\Big\lvert#2\Big
	\rvert\or\Big\lVert#2\Big\rVert\fi}
\nc\4[2]{\ifcase#1{#2}\or\bigg(#2\bigg)\or\bigg[#2\bigg]\or\bigg
	\{#2\bigg\}\or\bigg<#2\bigg>\or\bigg\langle#2\bigg\rangle\or\bigg
	\lvert#2\bigg\rvert\or\bigg\lVert#2\bigg\rVert\fi}
\nc\5[2]{\ifcase#1{#2}\or\Bigg(#2\Bigg)\or\Bigg[#2\Bigg]\or\Bigg
	\{#2\Bigg\}\or\Bigg<#2\Bigg>\or\Bigg\langle#2\Bigg\rangle\or\Bigg 
	\lvert#2\Bigg\rvert\or\Bigg\lVert#2\Bigg\rVert\fi}
\nc\9[2]{\ifcase#1{#2}\or\left(#2\right)\or\left[#2\right]\or\left
	\{#2\right\}\or\left\langle{#2}\right\rangle\or\left\langle{#2}\right
	\rangle\or\left\lvert{#2}\right\rvert\or\left\lVert{#2}\right\rVert\fi}
\nc\lt{\mathopen{}\mathclose\bgroup\left} \nc\rt{\aftergroup\egroup\right}

\nc\bi\relax %% spacing finer than \! \, \: \;
\nc\bit{ \mskip1mu} \nc\biT{ \mskip-1mu} %% Note:
\nc\bitt{ \mskip2mu} \nc\biTT{ \mskip-2mu} %% \! = -3mu,
\nc\bittt{ \mskip3mu} \nc\biTTT{ \mskip-3mu} %% \, = 3mu,
\nc\bitttt{ \mskip4mu} \nc\biTTTT{ \mskip-4mu} %% \: = 4mu,
\nc\bittttt{\mskip5mu} \nc\biTTTTT{\mskip-5mu} %% \; = 5mu.

\nc\f\frac %% fraction styles
\nc\F[5]{\1#3{\1#1{#4}/\1#2{#5}}} %% e.g., \F012{a}{b} = [a/(b)]
\nc\ff{\largerfrac{-1}} \nc\fF{\largerfrac{+1}} %% smaller
\nc\fff{\largerfrac{-2}} \nc\fFF{\largerfrac{+2}} %% and
\nc\ffff{\largerfrac{-3}} \nc\fFFF{\largerfrac{+3}} %% larger
\nc\fffff{\largerfrac{-4}} \nc\fFFFF{\largerfrac{+4}} %% fractions
\nc\largerfrac[3]{\mathchoice %% \frac at a type size larger by #1
	{\SB{$\mS0\vcenter{}$}\w=\yB\SB{\rS{#1}$\mS0\vcenter{}$}
		\advance\w by-\yB\raise\w\HB{\rS{#1}$\mS0\frac{#2}{#3}$}}
	{\SB{$ \vcenter{}$}\w=\yB\SB{\rS{#1}$ \vcenter{}$}
		\advance\w by-\yB\raise\w\HB{\rS{#1}$ \frac{#2}{#3}$}}
	{\SB{$\mS2\vcenter{}$}\w=\yB\SB{\rS{#1}$\mS2\vcenter{}$}
		\advance\w by-\yB\raise\w\HB{\rS{#1}$\mS2\frac{#2}{#3}$}}
	{\SB{$\mS3\vcenter{}$}\w=\yB\SB{\rS{#1}$\mS3\vcenter{}$}
		\advance\w by-\yB\raise\w\HB{\rS{#1}$\mS3\frac{#2}{#3}$}}}

\nc\restr[2]{{\lt.#1\rt|}_{#2}} %% restriction; value at #2
\nc\tr{\mathop{\txt00{tr}}}

%% Math symbols:
\nc\e{\mathrm{e}} %% e = 2.718281828459...
\nc\dd{\mathrm{d}} \nc\ddd{\bit\d} %% differential d
\nc\pd\partial
\def\lta#1{{\overset{{\scriptscriptstyle \leftarrow}}{#1}}}
\def\rta#1{{\overset{{\scriptscriptstyle \rightarrow}}{#1}}}
\def\nablal{\lta{\nabla}}
\def\nablar{\rta{\nabla}}
\nc\ql{\lambda}
\nc\xv{\underline{x}}
\nc\yv{\underline{y}}
\nc\rn{\mathbb{R}^n}
\nc\rk{\mathbb{R}^k}
\nc\Ker{\textrm{Ker }}
\nc\im{\textrm{Im }}
\nc\biz{\subsubsection*{Bizonyítás}}
\nc\ttl{\subsection{Tétel}}
\nc\df{\subsection{Definíció}}
\nc\al{\subsection{Állítás}}

\usepackage{tkz-berge}

\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
%%%%%%%%%% \mathbf{}=vastagít \mathrm{}=felállít
\def\changemargin#1#2{\list{}{\rightmargin#2\leftmargin#1}\item[]}
\let\endchangemargin=\endlist 

\title{Bevezetés a számelméletbe 2 jegyzet}
\author{Toldi Balázs Ádám }
\date{Február 2020}

\begin{document}
	
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Kombinatorika alapjai}
\subsection{Permutáció}
\subsubsection{Ismétlés nélküli permutáció}
$k$ különbőző dolog sorrenjeinek száma, ismétlés nélkül.
Kiszámítása: $k!$
\subsubsection{Ismétléses permutáció}
$k$ különbőző dolog sorrenjeinek száma, ismétléssel.
Kiszámítása: $\frac{(k_1+k_2+..+k_r)!}{k_1!k_2!...k_R!}$
\subsection{Variáció}
\subsubsection{Ismétlés nélküli variáció}
$n$ különbőző dologból választunk $k$ különbözőt és számít a sorrend.
Kiszámítása:$\frac{n!}{(n-k)!}$
\subsubsection{Ismétléses variáció}
$n$ különbőző dolog közül választunk $k$ darab, nem feltétlenül különböző dolgot és számít hogy milyen sorrendben.
Kitszámítása: $n^k$
\subsection{Kombináció}
\subsubsection{Ismétlés nélküli kombináció}
$n$ különböző dolog közül kiválasztunk $k$ darab különbőző dolgot sorrendtől függetlenül. 
Kiszámítása: 
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
 n\\
 k
\end{pmatrix}
=\frac{n!}{(n-k)!k!}
\end{equation*}
\subsubsection*{Megjegyzés}
A $\bigl( \begin{smallmatrix} n\\k \end{smallmatrix}\bigl)$ számokat binominális együtthatónak nevezzük.
\subsubsection{Ismétléses kombináció}
$n$ kükönböző dologból kiválasztunk $k$ darab, nem feltétlen különböző dolgot és a sorrend nem számít.
Kiszámítása:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
 (n-1)+k\\
 k
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\subsubsection{Fontos tudnivaló a binomiális együtthatókról}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
 n\\
 k
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 n\\
 n-k
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\subsection{Pascal-háromszög}
\begin{tabular}{>{$n=}l<{$\hspace{12pt}}*{13}{c}}
0 &&&&&&&1&&&&&&\\
1 &&&&&&1&&1&&&&&\\
2 &&&&&1&&2&&1&&&&\\
3 &&&&1&&3&&3&&1&&&\\
4 &&&1&&4&&6&&4&&1&&\\
5 &&1&&5&&10&&10&&5&&1&\\
6 &1&&6&&15&&20&&15&&6&&1
\end{tabular}
\subsubsection{Elemei}
Minden $n$ sor, $k$. eleme megegyezik $\bigl( \begin{smallmatrix*}n\\k\end{smallmatrix*}\bigl)$-val.
\subsubsection{Binomiális tétel}
$$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}a^i\cdot b^{n-i}\cdot\bigl( \begin{smallmatrix*}n\\i\end{smallmatrix*}\bigl)$$
\subsubsection{Tétel}
Minden $n$. sor elemeinek összege $2^n$.
\biz
$$(1+1)^n=2^n=\sum_{i=0}^{n}1^i\cdot 1^{n-i}\cdot\bigl( \begin{smallmatrix*}n\\i\end{smallmatrix*}\bigl)=\sum_{i=0}^{n}\bigl( \begin{smallmatrix*}n\\i\end{smallmatrix*}\bigl)$$
\section{Gráfelmélet alapjai}
\subsection{Egyszerű gráfok}
Olyan gráf,amely nem tartalmaz hurok- és párhuzamos éleket.
\subsection{Részgráf}
$G'(V',G')$ gráf részgráfja $G(V,E)$-nek,ha $V'\leq V$,$E'\leq E$ és minedn $E'$-beli él végpontja $V'$ elemei.
\subsection{Állítás}
A fokok összege az élek számának kétszerese.
\subsection{Teljes gráf}
Bármely két különböző csúcs össze van kötve.
\subsection{Komplementer gráf}
Ugyanazon pontokból áll, teljes gráf $-$ gráf élei
\subsection{Izomorf gráf}
Két gráfot akkor nevezünk izomorfnak, ha pontjaik és éleik kölcsönösen egyértelműen és illeszkedéstartóan megfeleltethetők egymásnak.
\subsection{Út}
Olyan élsorozat,amelyben minden csúcs különböző
\subsection{Kör}
Olyan út,amelynek kezdőpontja és végpontja megegyezik
\subsection{Összefüggő gráfok}
Két gráf akkor összefüggő ha bármely két csúcsa közt létezik élsorozat/út
\subsection{Komponens}
Összefüggő feszített részgráf,amelyből nem emgy ki él.Nem bővíthető tovább összefüggő pontal.
\subsection{Állítás}
Ha $G$ egy $n$ csúcsú összefüggő gráf, akkor minimum $n-1$ éle van.
\subsection{Definíció}
Az összefüggő,körmentes gráfokat fának nevezzük.
\subsection{Állítás}
Minden n csúcsú fának pont n- éle van.
\subsection{Lemma}
G körmentes, n csúcsú gráf. Ekkor legfeljebb n-1 éle van G-nek.
\subsection{Állítás}
Minden legalább 2 csúcsú fának van levele.
\subsection{Feszítőfa}
$G$-nek $F$ feszítőfája, ha $F$ fa és $F$ részgráfja G-nek,$F$ minden csúcsot tartalmaz.
\section{Euler- és Hamilton körök}
\subsection{Definíció}
A $G$ gráf Euler-körének nevezünk egy zárt élsorozatot, ha az élsorozat pontosan egyszer tartalmazza $G$ összes élét. Ha az élsorozat nem feltétlenül zárt, akkor Euler-utat kapunk.
\ttl
Egy összefüggő $G$ gráfban akkor és csak akkor van Euler-kör, ha $G$ minden pontjának fokszáma páros.
\ttl
 Egy összefüggő $G$ gráfban akkor és csak akkor van Euler-út, ha $G$-ben a páratlan fokú pontok száma $0$ vagy $2$.
\df
Egy $G$ gráfban Hamilton-körnek nevezünk egy $H$ kört, ha $G$ minden pontját (pontosan egyszer) tartalmazza. Egy utat pedig Hamilton-útnak nevezünk, ha $G$ minden pontját pontosan egyszer tartalmazza.
\ttl
Ha a G gráfban létezik $k$ olyan pont, amelyeket elhagyva a gráf több mint $k$ komponensre esik, akkor nem létezik a gráfban Hamilton-kör. Ha létezik $k$ olyan pont, amelyeket elhagyva a gráf több mint $k + 1$ komponensre esik, akkor nem létezik a gráfban Hamilton-út.
\subsection{Tétel(Ore)}
Ha az n pontú G gráfban minden olyan $x, y \in V (G)$ pontpárra, amelyre ${x, y} \in E(G)$ teljesül az is, hogy $d(x) + d(y) \geq n$, akkor a gráfban van Hamilton-kör.
\subsection{Tétel(Dirac)}
Ha egy n pontú G gráfban minden pont foka legalább $n/2$, akkor a gráfban létezik Hamilton–kör.
\section{Gráfok síkbarajzolhatósága}
\df
Ha egy gráf lerajzolható a síkba úgy, hogy az élei ne messék egymást, akkor a gráf síkbarajzolható. A síkbarajzolt gráf a síkot tartományokra osztja. Hasonlóan definiáljuk a gömbre rajzolható gráfot.
\ttl
Euler formula: Ha egy összefüggő síkbeli gráfnak $n$ csúcsa, $e$ éle és $t$ tartománya van (beleértve a külső, nem korlátos tartományt is), akkor eleget tesz az Euler-formulának: $n-e+t = 2$.
\ttl
Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf és pontjainak száma legalább 3, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq3n-6$.
\ttl
Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf, minden körének a hossza legalább 4 és pontjainak száma legalább 4, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq2n-4$.
\ttl
Egy gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, amely topologikusan izomorf $K_{3,3}$ -mal vagy $K_5$-tel.
\section{Gráfok színezése}
\df
Legyen $G$ egy gráf és $k\geq1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel színezhető, ha a $G$ minden csúcsa kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$ bármely két szomszédos csúcsának a színe különböző. A $G$ kromatikus száma $k$, ha
$G$ $k$ színnel színezhető, de $(k - 1)$-gyel már nem. $G$ kromatikus számának a jele:
$\chi(G)$.
\df
A $G$ gráfot páros gráfnak nevezzük, ha a $V(G)$ csúcshalmaza felbontható az $A$ és $B$ diszjunkt halmazok egyesítésére úgy, hogy a $G$ minden éle egy
$A$-beli csúcsot köt össze egy $B$-belivel. Ilyenkor a szokásos $G = (V ; E)$ jelölés helyett a $G = (A, B; E)$ jelölést is használjuk.
\ttl
A $G$ gráf akkor és csak akkor páros gráf, ha nem tartalmaz páratlan
hosszú kört.
\al
Minden $k \geq 1$ egész esetén létezik olyan ($2k$ csúcsú) $G$ gráf és a $G$ csúcsainak egy olyan sorrendje, hogy $\chi(G) = 2$, de a mohó színezést a $G$-re a
csúcsoknak ebben a sorrendjében futtatva az eljárás $k$ színt használ.
\al
 Legyen $G$ (hurokélmentes) gráf és jelölje $\Delta(G)$ a $G$-beli maximális
fokszámot (vagyis a $G$-beli csúcsok fokszámai közül a legnagyobbat). Ekkor a mohó színezést a csúcsok tetszőleges sorrendjében végrehajtva az legföljebb $\Delta(G) + 1$
színt használ.
\subsubsection{Következmény}
 Minden (hurokélmentes) $G$ gráfra $\chi(G)\leq\Delta(G) + 1$.
\df
A $G$ gráf klikkszáma $k$, ha $G$-ben található $k$ darab csúcs úgy, hogy ezek közül bármely kettő szomszédos, de $k + 1$ ilyen csúcs már nem található.
$G$ klikkszámának a jele: $\omega(G)$.
\al 
Minden (hurokélmentes) $G$ gráfra $\omega(G) \leq \chi(G)$ teljesül.
\ttl
Minden $k\geq2$ esetén létezik olyan $G_k$ gráf, amire $\omega(G_k ) = 2$ és
$\chi(G_k ) = k$.
\df
A $G$ egyszerű gráfot akkor nevezzük intervallumgráfnak, ha léteznek a számegyenesen olyan $I_1 , I_2 ,\dots, I_n \subseteq \mathbb{R}$ (korlátos és zárt) intervallumok, hogy $G$ ezekből megkapható a következő módon: $G$ csúcsai megfelelnek az intervallumoknak és két különböző csúcs pontosan akkor szomszédos $G$-ben, ha a két megfelelő intervallumnak van közös pontja. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az ${I_1,I_2 ,\dots, I_n }$
\ttl
 Legyen $G$ intervallumgráf és tegyük fel, hogy $G$-t az ${I_1 , I_2 ,\dots, I_n }$
intervallumrendszer reprezentálja. Ekkor ha az ${I_1 ,I_2,\dots, I_n }$ intervallumokat a baloldali végpontjuk szerinti növekvő sorrendbe rendezzük és $G$ csúcsainak erre a
sorrendjére hajtjuk végre a mohó színezést, akkor az eljárás $G$-t optimális számú,
$\chi(G)$ színnel színezi meg.
\subsubsection{Következmény}
 Ha $G$ intervallumgráf, akkor rá $\omega(G) = \chi(G)$ teljesül.
\df 
 A $G$ gráfban az $M\subseteq E(G)$ élhalmazt párosításnak vagy független
élhalmaznak nevezzük, ha ($M$ nem tartalmaz hurokélt és) $M$ semelyik két élének
nincs közös végpontja. Az $M$ maximális párosítás, ha $G$-nek nincs $|M|$-nél nagyobb
méretű párosítása; a $G$-beli maximális párosítások méretét $\nu(G)$ jelöli. Az M független élhalmaz teljes párosítás, ha $G$ minden csúcsára illeszkedik $M$-beli él.
\df 
A $G$ gráf csúcsainak egy $X\subseteq V(G)$ halmazát lefogó ponthalmaznak nevezzük, ha $G$ minden élének legalább az egyik végpontja $X$-beli. Az $X$ minimális lefogó ponthalmaz, ha $G$-ben nincs $|X|$-nél kisebb lefogó ponthalmaz. A $G$-beli minimális lefogó ponthalmazok méretét $\tau(G)$ jelöli.
\al 
Minden $G$ gráfra $\nu(G)\leq\tau(G)$ teljesül.
\df 
 A $G$ gráf csúcsainak egy $Y\subseteq V(G)$ halmazát független ponthalmaznak nevezzük, ha $Y$-nak semelyik két tagja nem szomszédos $G$-ben (és $Y$ -beli csúcsra hurokél sem illeszkedik). A $G$-beli független ponthalmazok közül a maximálisaknak a méretét $\alpha(G)$ jelöli.
\df 
 Az izolált pontot nem tartalmazó $G$ gráf éleinek egy $Z\subseteq E(G)$
halmazát lefogó élhalmaznak nevezzük, ha a $G$-nek minden csúcsára illeszkedik
legalább egy $Z$-beli él. A $G$-beli lefogó élhalmazok közül a minimálisaknak a méretét $\rho(G)$ jelöli.
\al 
Minden (izolált pontot nem tartalmazó) $G$ gráfra $\alpha(G)\leq\rho(G)$ teljesül.
\al
Legyen $G$ tetszőleges gráf, $X\subseteq V(G)$ csúcshalmaz és $Y = V (G) \ X$
az $X$ komplementere. Ekkor az $X$ pontosan akkor minimális lefogó ponthalmaz
$G$-ben, ha $Y$ maximális független ponthalmaz $G$-ben.
\al 
 Legyen $G$ egy $n$ csúcsú, izolált pontot nem tartalmazó gráf, $k$ pedig tetszőleges nemnegatív egész. Ekkor:
 \begin{itemize}
 	\item ha $G$-ben van $k$ élű párosítás, akkor $G$-ben van legföljebb $n-k$ élű lefogó élhalmaz;
 	\item  ha $G$-ben van $k$ élű lefogó élhalmaz, akkor $G$-ben van legalább $n-k$ élű
 	párosítás.
 \end{itemize}
\subsection{Gallai tétele}
Minden $n$ csúcsú $G$ gráfra fennállnak az alábbiak:
\begin{itemize}
	\item $\alpha(G)+\tau(G) =n$
	\item $\nu(G)+\rho(G)=n$,ha G-nek nincs izolált pontja.
\end{itemize}

\section{Összefoglaló táblázat}
\begin{table}[th]
	\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
		\hline
		& Maximális független & Minimális lefogó & Összeg \\ \hline
		pont & $\alpha$      & $\tau$           & $n$      \\ \hline
		él   & $\nu$         & $\rho$           & $n$      \\ \hline
	\end{tabular}
\end{table}
\df 
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$-ben. Ekkor
egy $G$-beli $P$ út javítóút $M$-re nézve, ha rá az alábbiak teljesülnek:

(1) $P$ egy $M$ által nem fedett $A$-beli csúcsból indul;

(2) $P$ egy $M$ által nem fedett $B$-beli csúcsban ér véget;

(3) $P$-nek minden páros sorszámú éle (tehát a második, negyedik stb.) $M$-beli.
\df\label{def1} 
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$-ben. A
$G$-beli $P$ utat alternáló útnak hívjuk, ha rá a  \ref{def1}. Definíció (1) és (3) követelményei teljesülnek (de a (2) nem feltétlenül). Más szóval: alternáló útnak az olyan utakat nevezzük, amelyek párosítás által nem fedett $A$-beli csúcsból indulnak és minden második élük $M$-beli.
\subsection{Lemma}
Tegyük fel, hogy a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút $G$-ben. Vezessük be az alábbi jelöléseket:

(1) jelölje $A_1$ , illetve $B_1$ az $M$ által nem fedett $A$, illetve $B$-beli csúcsok halmazát;

(2) jelölje $A_2$ azoknak az ($M$ által fedett) $A$-beli csúcsoknak a halmazát, amelyekbe vezet alternáló út;

(3) jelölje $A_3$ a maradék $A$-beli csúcsoknak a halmazát (amelyek tehát $M$ által
lefedettek, de nem vezet hozzájuk alternáló út).

(4) Jelölje $B_2$ , illetve $B_3$ az $A_2$, illetve $A_3$ csúcsainak $M$ szerinti párjaiból álló $B$-beli csúcsok halmazait.

Ekkor $G$-nek nincs olyan éle, amely $A_1 \cup A_2$ és $B_1 \cup B_3$ között vezet.
\ttl
Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút,
akkor $M$ maximális párosítás $G$-ben.
\subsubsection{Következmény (Kőnig tétele)}
Minden $G$ páros gráfra $\nu(G) = \tau(G)$ teljesül.
\subsubsection{Következmény}
Ha a $G$ páros gráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor rá $\alpha(G) = \rho(G)$ teljesül.
\df 
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $X\subseteq A$ egy tetszőleges részhalmaza $A$-nak. Ekkor az $X$ szomszédságának nevezzük és $N(X)$-szel jelöljük a $B$-nek azt a részhalmazát, amely azokból a $B$-beli csúcsokból áll, amelyeknek van (legalább egy) szomszédja $X$-ben. Képletben:
 $$N(X) = \{b\in B : \exists a \in X, {a, b} \in E(G) \}$$
\ttl
	A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A$-t lefedő
párosítás, ha minden $X\subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
\subsubsection{Következmény (Frobenius tétele)}
A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha
$|A| = |B|$ és minden $X \subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
\subsubsection{Következmény}
Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf d-reguláris, ahol $d \geq 1$ tetszőleges egész, akkor $G$-ben van teljes párosítás.
\subsection{Tutte tétele}
A $G$ gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha a csúcsok minden
$X\subseteq V(G)$ részhalmazára $c_p (G - X) \leq |X|$ teljesül.
\section{Gráfok élszínezése}
\df
Legyen $G$ egy gráf és $k \geq 1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel élszínezhető, ha a $G$ minden éle kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$
bármely két szomszédos (vagyis közös csúcsra illeszkedő) élének a színe különböző. A $G$ élkromatikus száma $k$, ha $G$ $k$ színnel élszínezhető, de $(k - 1)$-gyel már nem. G élkromatikus számának a jele: $\chi_e(G)$.
\al 
Minden (hurokélmentes) $G$ gráfra $\Delta(G) \leq\chi_e(G)$ teljesül.
\subsection{Vizing tétele}
Minden G egyszerű gráfra $\chi_e(G) \leq \Delta(G) + 1$ teljesül.
\subsection{Kőnig élszínezési tétele}
Minden $G = (A, B; E)$ páros gráfra $\chi_e(G) = \Delta(G)$ teljesül.
\section{A maximális folyam}
\df
Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, annak az $s,t\in V(G)$
egymástól különböző csúcsai és a $c : E \rightarrow \mathbb{R}^+$ kapacitás függvény (ami tehát minden $e\in E$ élhez egy nemnegatív $c(e)$ kapacitás értéket rendel). Ekkor a $(G, s,t, c)$ négyest hálózatnak nevezzük.
\df 

\end{document}
