Added proofs for the next section

bsz2.org

@@ -599,59 +599,136 @@ sok csúcsú komponenseinek száma legfeljebb $k$.
 
 *** TODO Bizonyítás
 
-   
 * Párosítások $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
-** Definíció 
-Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$ -ben. Ekkor
-egy $G$ -beli $P$ út javítóút $M$ -re nézve, ha rá az alábbiak teljesülnek:
+** Párosítások páros gráfokban
+Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G\text{-ben}$. Ekkor
+egy $G\text{-beli}$ $P$ út javítóút $M\text{-re}$ nézve, ha rá az alábbiak teljesülnek:
 
-(1) $P$ egy $M$ által nem fedett $A$ -beli csúcsból indul;
+(1) $P$ egy $M$ által nem fedett $A\text{-beli}$ csúcsból indul;
 
-(2) $P$ egy $M$ által nem fedett $B$ -beli csúcsban ér véget;
+(2) $P$ egy $M$ által nem fedett $B\text{-beli}$ csúcsban ér véget;
 
 (3) $P$ -nek minden páros sorszámú éle (tehát a második, negyedik stb.) $M$
 -beli.
-** Definíció\label{def1} 
-Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$ -ben. A
-$G$ -beli $P$ utat alternáló útnak hívjuk, ha rá a  \ref{def1}. Definíció (1) és
+** Alteráló út
+Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G\text{-ben}$. A
+$G$ -beli $P$ utat alternáló útnak hívjuk, ha rá a  [[*Párosítások páros gráfokban]]. Definíció (1) és
 (3) követelményei teljesülnek (de a (2) nem feltétlenül). Más szóval: alternáló
 útnak az olyan utakat nevezzük, amelyek párosítás által nem fedett $A$ -beli
 csúcsból indulnak és minden második élük $M$ -beli.
+
 ** Lemma 
-Tegyük fel, hogy a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút $G$ -ben. Vezessük be az alábbi jelöléseket:
+:PROPERTIES:
+:CUSTOM_ID: lemma1
+:END:
+Tegyük fel, hogy a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs
+javítóút $G$ -ben. Vezessük be az alábbi jelöléseket:
 
-(1) jelölje $A_1$ , illetve $B_1$ az $M$ által nem fedett $A$, illetve $B$ -beli csúcsok halmazát;
-
-(2) jelölje $A_2$ azoknak az ($M$ által fedett) $A$ -beli csúcsoknak a halmazát, amelyekbe vezet alternáló út;
-
-(3) jelölje $A_3$ a maradék $A$ -beli csúcsoknak a halmazát (amelyek tehát $M$ által
-lefedettek, de nem vezet hozzájuk alternáló út).
-
-(4) Jelölje $B_2$ , illetve $B_3$ az $A_2$, illetve $A_3$ csúcsainak $M$ szerinti párjaiból álló $B$ -beli csúcsok halmazait.
+   1. Jelölje $A_1$ , illetve $B_1$ az $M$ által nem fedett $A$, illetve
+      $B\text{-beli}$ csúcsok halmazát;
+   2. Jelölje $A_2$ azoknak az ($M$ által fedett) $A$ -beli csúcsoknak a
+      halmazát, amelyekbe vezet alternáló út;
+   3. Jelölje $A_3$ a maradék $A\text{-beli}$ csúcsoknak a halmazát (amelyek tehát $M$
+      által lefedettek, de nem vezet hozzájuk alternáló út).
+   4. Jelölje $B_2$ , illetve $B_3$ az $A_2$, illetve $A_3$ csúcsainak $M$
+      szerinti párjaiból álló $B\text{-beli}$ csúcsok halmazait.
 
 Ekkor $G$ -nek nincs olyan éle, amely $A_1 \cup A_2$ és $B_1 \cup B_3$ között
 vezet.
+*** Bizonyítás
+Indirekt módon feltesszük, hogy mégiscsak létezik olyan ${a,b}$ él,hogy $a\in
+A_1\cup A_2$ és $b\in B_1\cup B_3$. Ez összesen négy esetet jelent.
+
+Ha $a\in A_1$ és $b\in B_1$, az azt jelentené,hogy létezne egy javítóút
+$a\text{-ból}$ $b\text{-be}$, ez viszont ellentmondás.
+
+Ha $a\in A_1$ és $b\in B_3$, ekkor $a\text{-ból}$ eljuthatnánk $b\text{-be}$,
+ahonnan a $b\text{-re}$ illeszkedő $M\text{-beli}$ élen át egy $A_3\text{-beli}$
+csúcsba jutnánk egy kétélű alteráló úton. Ez lehetetlen, hiszen $A_3\text{-be}$
+nem vezethet alteráló út.
+
+Ha $a\in A_2$ és $b\in B_1$, ekkor $a$ pontba vezet egy $P$ alteráló
+út. $b\text{-el}$ kiegészítve a $P$ utat,egy javító utat kapnánk,ami
+ellentmondás.
+
+Ha $A_in A_2$ és $b\in B_3$, akkor létezik egy $P$ alteráló út $a\text{-ba}$. Ha
+ezt kiegészítjük az ${a,b}$ éllel és a $b\text{-re}$ illeszkedő $M\text{-beli}$
+éllel, akkor a $P\text{-nél}$ kettővel hosszabb $P'$ alteráló utat kapunk. Ez
+ellentmondás,hiszen $A_3\text{-be}$ nem vezethet alteráló út.
 ** Tétel
 Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút,
 akkor $M$ maximális párosítás $G$ -ben.
+*** Bizonyítás
+:PROPERTIES:
+:CUSTOM_ID: t_biz1
+:END:
+Jelölje $M$ élszámát $|M|=k$. Megmutatjuk hogy $G\text{-ben}$ létezik $k$ pontú
+lefogó ponthalmaz,mert ebből következni fog, hogy $M$ maximális. Mivel létezik
+$k$ elemű párosítás,így $\nu(G)\geq k$. A $k$ pontú lefogó halmaz létezéséből
+$\tau(G)\leq k$. A kettőt összerakva: $\k\leq\nu(G)\leq\tau(G)\leq k \Rightarrow
+\nu(G)=k$,így $M$ tényleg maximális párosítás.
+
+Azt állítjuk hogy a [[id:lemma1]] jelölései szerint $X=A_3\cup B_2$ lefogó
+ponthalmaz $G\text{-ben}$. Legyen $e={a,b}$ egy tetszőleges él,ahol $a\in A$ és
+$b\in B$. Ha $a\in A_3$,akkor $e$ egyik végpontja $X\text{beli}$, ha viszont
+$a\in A_2\cup A_3$,akkor a [[id:lemma1]] lemma szerint $b\in B_2$,így $X$ ebben az
+esetben is lefogja $e\text{-t}$
+
+Most megmutatjuk,hogy $|X|=k$. Mivel $|M|=k$ és $X$ minden $M\text{-beli}$ él egy végpontját
+tartalmazza, így $|X|=k$. ( $A_2$ és $B_2$ között futóknak az
+$A\text{-beli}$ végpontját, az $A_3$ és $B_3$ között futóknak a $B\text{-beli}$
+végpontját.)
 *** Következmény (Kőnig tétele)
 Minden $G$ páros gráfra $\nu(G) = \tau(G)$ teljesül.
+*** Kőnig tétel bizonyítása
+Az [[id:t_biz1][előző bizonyításban]] már láttuk,hogy $\k\leq\nu(G)\leq\tau(G)\leq k$, ebből
+valóban következik az állítás.
 *** Következmény
-Ha a $G$ páros gráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor rá $\alpha(G) = \rho(G)$ teljesül.
+Ha a $G$ páros gráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor rá $\alpha(G) = \rho(G)$
+teljesül.
+*** Következmény bizonyítása
+[[*Következmény (Kőnig tétele)][Kőnig tételéből]] tudjuk,hogy $\nu(G)=\tau(G)$,valamint [[*Gallai tétele][Gallai tételőből]]
+tudjuk,hogy $\alpha(G)+\tau(G)=n$ és $\nu(G)+\rho(G)=n$ igazak. Ezekből tehát
+$\alpha(G)=n-\tau(G)=n-\nu(G)=\rho(G)$ valóban következik.
 ** Definíció 
 Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $X\subseteq A$ egy tetszőleges részhalmaza
 $A$ -nak. Ekkor az $X$ szomszédságának nevezzük és $N(X)$ -szel jelöljük a $B$
 -nek azt a részhalmazát, amely azokból a $B$ -beli csúcsokból áll, amelyeknek
 van (legalább egy) szomszédja $X$ -ben. Képletben:
  $$N(X) = \{b\in B : \exists a \in X, {a, b} \in E(G) \}$$
-** Tétel
-A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A$ -t lefedő
+** Tétel(Hall tétele)
+A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A\text{-t}$ lefedő
 párosítás, ha minden $X\subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
+*** Bizonyítás
+A szükségesség nyilvánvaló,hiszen ha nem így volna, akkor nem jutna minden
+$A\text{-beli}$ csúcshoz pár.
+
+Most megmutatjuk,hogy ha $|N(X)|\geq |X|$  $\forall X\subseteq A$ esetén,akkor
+$\exists A\text{-t}$ lefedő párosítás.  Tegyük fel indirekt módon.Futtassuk le a
+javító utas algoritmust végig. Ekkor nem létezik $A\text{-t}$ fedő párosítás,
+így $A_1\neq\varnothing$.Ezért $N(A_1\cup A_2)=B_2$ lemma miatt. Ha viszont ez
+$X=A_1\cup A_2$,akkor $|X|>N(X)=B2$ (Hiszen $|B_2|=|A_2|$ és $A_1\neq\varnothing$),ami ellentmondás.
 *** Következmény (Frobenius tétele)
 A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha
 $|A| = |B|$ és minden $X \subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
+*** Frobenius tételének bizonyítása
+A szükségesség itt is nyilvánvaló,hiszen minden $A\text{-beli}$ csúcshoz egy
+$B\text{-beli}$ csúcsot akarunk rendelni.
+
+A Hall tételben már láttuk az elégségességét,és mivel $|A|=|B|$,így a szerepük felcserélhető
 *** Következmény
-Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf d-reguláris, ahol $d \geq 1$ tetszőleges egész, akkor $G$ -ben van teljes párosítás.
+Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf $d\text{-reguláris}$, ahol $d \geq 1$ tetszőleges egész,
+akkor $G$ -ben van teljes párosítás.
+*** Következmény bizonyítása
+Mivel $G$ $d\text{-reguláris}$, ezért $|E|=d\cdot|A|$ és $|E|=d\cdot|B|$. Ezek
+miatt $|A|=|B|$ adódik.
+
+Legyen $X\subseteq A$ tetszőleges csúcshalmaz, és jelölje $E_X$ az $X\text{-re}$
+illeszkedő élek halmazát. Mivel minden $X\text{-beli}$ csúcsra $d$ darab
+$E_X\text{-beli}$ él illeszkedik,így $|E_X|=d\cdot|X|$. $N(X)$ csúcsokra nem
+csak $E_X\text{beli}$ élek illeszkedhetnek,de az elmondható,hogy legfeljebb $d$
+darab illeszkedik, így $|E_X|\leq d\cdot|N(X)|$. Így adódik,hogy $|X|<|N(X)|$,
+ezzel beláttuk a tételt.
 * Gráfok élszínezése $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
 ** Definíció
 Legyen $G$ egy gráf és $k \geq 1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel élszínezhető, ha a $G$ minden éle kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$