Added proofs for the next section
This commit is contained in:
parent
0626b63296
commit
0600e46ce2
1 changed files with 101 additions and 24 deletions
125
bsz2.org
125
bsz2.org
|
|
@ -77,10 +77,10 @@ ki(Ez pedig $\begin{pmatrix}n-\\k\end{pmatrix}$,mivel a maradék $n-1\text{-ből
|
|||
darabot). Ez pontosan az amit be akartunk látni.
|
||||
|
||||
*** Binomiális tétel
|
||||
\begin{align}
|
||||
\begin{align}
|
||||
(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}a^i\cdot
|
||||
b^{n-i}\cdot \begin{pmatrix}n \\ i \end{pmatrix}
|
||||
\end{align}
|
||||
\end{align}
|
||||
**** Bizonyítás
|
||||
\begin{align}
|
||||
(a+b)^n&=(a+b)\cdot(a+b)\cdot\ldots\cdot(a+b)
|
||||
|
|
@ -599,59 +599,136 @@ sok csúcsú komponenseinek száma legfeljebb $k$.
|
|||
|
||||
*** TODO Bizonyítás
|
||||
|
||||
|
||||
* Párosítások $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
|
||||
** Definíció
|
||||
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$ -ben. Ekkor
|
||||
egy $G$ -beli $P$ út javítóút $M$ -re nézve, ha rá az alábbiak teljesülnek:
|
||||
** Párosítások páros gráfokban
|
||||
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G\text{-ben}$. Ekkor
|
||||
egy $G\text{-beli}$ $P$ út javítóút $M\text{-re}$ nézve, ha rá az alábbiak teljesülnek:
|
||||
|
||||
(1) $P$ egy $M$ által nem fedett $A$ -beli csúcsból indul;
|
||||
(1) $P$ egy $M$ által nem fedett $A\text{-beli}$ csúcsból indul;
|
||||
|
||||
(2) $P$ egy $M$ által nem fedett $B$ -beli csúcsban ér véget;
|
||||
(2) $P$ egy $M$ által nem fedett $B\text{-beli}$ csúcsban ér véget;
|
||||
|
||||
(3) $P$ -nek minden páros sorszámú éle (tehát a második, negyedik stb.) $M$
|
||||
-beli.
|
||||
** Definíció\label{def1}
|
||||
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$ -ben. A
|
||||
$G$ -beli $P$ utat alternáló útnak hívjuk, ha rá a \ref{def1}. Definíció (1) és
|
||||
** Alteráló út
|
||||
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G\text{-ben}$. A
|
||||
$G$ -beli $P$ utat alternáló útnak hívjuk, ha rá a [[*Párosítások páros gráfokban]]. Definíció (1) és
|
||||
(3) követelményei teljesülnek (de a (2) nem feltétlenül). Más szóval: alternáló
|
||||
útnak az olyan utakat nevezzük, amelyek párosítás által nem fedett $A$ -beli
|
||||
csúcsból indulnak és minden második élük $M$ -beli.
|
||||
|
||||
** Lemma
|
||||
Tegyük fel, hogy a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút $G$ -ben. Vezessük be az alábbi jelöléseket:
|
||||
:PROPERTIES:
|
||||
:CUSTOM_ID: lemma1
|
||||
:END:
|
||||
Tegyük fel, hogy a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs
|
||||
javítóút $G$ -ben. Vezessük be az alábbi jelöléseket:
|
||||
|
||||
(1) jelölje $A_1$ , illetve $B_1$ az $M$ által nem fedett $A$, illetve $B$ -beli csúcsok halmazát;
|
||||
|
||||
(2) jelölje $A_2$ azoknak az ($M$ által fedett) $A$ -beli csúcsoknak a halmazát, amelyekbe vezet alternáló út;
|
||||
|
||||
(3) jelölje $A_3$ a maradék $A$ -beli csúcsoknak a halmazát (amelyek tehát $M$ által
|
||||
lefedettek, de nem vezet hozzájuk alternáló út).
|
||||
|
||||
(4) Jelölje $B_2$ , illetve $B_3$ az $A_2$, illetve $A_3$ csúcsainak $M$ szerinti párjaiból álló $B$ -beli csúcsok halmazait.
|
||||
1. Jelölje $A_1$ , illetve $B_1$ az $M$ által nem fedett $A$, illetve
|
||||
$B\text{-beli}$ csúcsok halmazát;
|
||||
2. Jelölje $A_2$ azoknak az ($M$ által fedett) $A$ -beli csúcsoknak a
|
||||
halmazát, amelyekbe vezet alternáló út;
|
||||
3. Jelölje $A_3$ a maradék $A\text{-beli}$ csúcsoknak a halmazát (amelyek tehát $M$
|
||||
által lefedettek, de nem vezet hozzájuk alternáló út).
|
||||
4. Jelölje $B_2$ , illetve $B_3$ az $A_2$, illetve $A_3$ csúcsainak $M$
|
||||
szerinti párjaiból álló $B\text{-beli}$ csúcsok halmazait.
|
||||
|
||||
Ekkor $G$ -nek nincs olyan éle, amely $A_1 \cup A_2$ és $B_1 \cup B_3$ között
|
||||
vezet.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
Indirekt módon feltesszük, hogy mégiscsak létezik olyan ${a,b}$ él,hogy $a\in
|
||||
A_1\cup A_2$ és $b\in B_1\cup B_3$. Ez összesen négy esetet jelent.
|
||||
|
||||
Ha $a\in A_1$ és $b\in B_1$, az azt jelentené,hogy létezne egy javítóút
|
||||
$a\text{-ból}$ $b\text{-be}$, ez viszont ellentmondás.
|
||||
|
||||
Ha $a\in A_1$ és $b\in B_3$, ekkor $a\text{-ból}$ eljuthatnánk $b\text{-be}$,
|
||||
ahonnan a $b\text{-re}$ illeszkedő $M\text{-beli}$ élen át egy $A_3\text{-beli}$
|
||||
csúcsba jutnánk egy kétélű alteráló úton. Ez lehetetlen, hiszen $A_3\text{-be}$
|
||||
nem vezethet alteráló út.
|
||||
|
||||
Ha $a\in A_2$ és $b\in B_1$, ekkor $a$ pontba vezet egy $P$ alteráló
|
||||
út. $b\text{-el}$ kiegészítve a $P$ utat,egy javító utat kapnánk,ami
|
||||
ellentmondás.
|
||||
|
||||
Ha $A_in A_2$ és $b\in B_3$, akkor létezik egy $P$ alteráló út $a\text{-ba}$. Ha
|
||||
ezt kiegészítjük az ${a,b}$ éllel és a $b\text{-re}$ illeszkedő $M\text{-beli}$
|
||||
éllel, akkor a $P\text{-nél}$ kettővel hosszabb $P'$ alteráló utat kapunk. Ez
|
||||
ellentmondás,hiszen $A_3\text{-be}$ nem vezethet alteráló út.
|
||||
** Tétel
|
||||
Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút,
|
||||
akkor $M$ maximális párosítás $G$ -ben.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
:PROPERTIES:
|
||||
:CUSTOM_ID: t_biz1
|
||||
:END:
|
||||
Jelölje $M$ élszámát $|M|=k$. Megmutatjuk hogy $G\text{-ben}$ létezik $k$ pontú
|
||||
lefogó ponthalmaz,mert ebből következni fog, hogy $M$ maximális. Mivel létezik
|
||||
$k$ elemű párosítás,így $\nu(G)\geq k$. A $k$ pontú lefogó halmaz létezéséből
|
||||
$\tau(G)\leq k$. A kettőt összerakva: $\k\leq\nu(G)\leq\tau(G)\leq k \Rightarrow
|
||||
\nu(G)=k$,így $M$ tényleg maximális párosítás.
|
||||
|
||||
Azt állítjuk hogy a [[id:lemma1]] jelölései szerint $X=A_3\cup B_2$ lefogó
|
||||
ponthalmaz $G\text{-ben}$. Legyen $e={a,b}$ egy tetszőleges él,ahol $a\in A$ és
|
||||
$b\in B$. Ha $a\in A_3$,akkor $e$ egyik végpontja $X\text{beli}$, ha viszont
|
||||
$a\in A_2\cup A_3$,akkor a [[id:lemma1]] lemma szerint $b\in B_2$,így $X$ ebben az
|
||||
esetben is lefogja $e\text{-t}$
|
||||
|
||||
Most megmutatjuk,hogy $|X|=k$. Mivel $|M|=k$ és $X$ minden $M\text{-beli}$ él egy végpontját
|
||||
tartalmazza, így $|X|=k$. ( $A_2$ és $B_2$ között futóknak az
|
||||
$A\text{-beli}$ végpontját, az $A_3$ és $B_3$ között futóknak a $B\text{-beli}$
|
||||
végpontját.)
|
||||
*** Következmény (Kőnig tétele)
|
||||
Minden $G$ páros gráfra $\nu(G) = \tau(G)$ teljesül.
|
||||
*** Kőnig tétel bizonyítása
|
||||
Az [[id:t_biz1][előző bizonyításban]] már láttuk,hogy $\k\leq\nu(G)\leq\tau(G)\leq k$, ebből
|
||||
valóban következik az állítás.
|
||||
*** Következmény
|
||||
Ha a $G$ páros gráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor rá $\alpha(G) = \rho(G)$ teljesül.
|
||||
Ha a $G$ páros gráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor rá $\alpha(G) = \rho(G)$
|
||||
teljesül.
|
||||
*** Következmény bizonyítása
|
||||
[[*Következmény (Kőnig tétele)][Kőnig tételéből]] tudjuk,hogy $\nu(G)=\tau(G)$,valamint [[*Gallai tétele][Gallai tételőből]]
|
||||
tudjuk,hogy $\alpha(G)+\tau(G)=n$ és $\nu(G)+\rho(G)=n$ igazak. Ezekből tehát
|
||||
$\alpha(G)=n-\tau(G)=n-\nu(G)=\rho(G)$ valóban következik.
|
||||
** Definíció
|
||||
Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $X\subseteq A$ egy tetszőleges részhalmaza
|
||||
$A$ -nak. Ekkor az $X$ szomszédságának nevezzük és $N(X)$ -szel jelöljük a $B$
|
||||
-nek azt a részhalmazát, amely azokból a $B$ -beli csúcsokból áll, amelyeknek
|
||||
van (legalább egy) szomszédja $X$ -ben. Képletben:
|
||||
$$N(X) = \{b\in B : \exists a \in X, {a, b} \in E(G) \}$$
|
||||
** Tétel
|
||||
A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A$ -t lefedő
|
||||
** Tétel(Hall tétele)
|
||||
A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A\text{-t}$ lefedő
|
||||
párosítás, ha minden $X\subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
A szükségesség nyilvánvaló,hiszen ha nem így volna, akkor nem jutna minden
|
||||
$A\text{-beli}$ csúcshoz pár.
|
||||
|
||||
Most megmutatjuk,hogy ha $|N(X)|\geq |X|$ $\forall X\subseteq A$ esetén,akkor
|
||||
$\exists A\text{-t}$ lefedő párosítás. Tegyük fel indirekt módon.Futtassuk le a
|
||||
javító utas algoritmust végig. Ekkor nem létezik $A\text{-t}$ fedő párosítás,
|
||||
így $A_1\neq\varnothing$.Ezért $N(A_1\cup A_2)=B_2$ lemma miatt. Ha viszont ez
|
||||
$X=A_1\cup A_2$,akkor $|X|>N(X)=B2$ (Hiszen $|B_2|=|A_2|$ és $A_1\neq\varnothing$),ami ellentmondás.
|
||||
*** Következmény (Frobenius tétele)
|
||||
A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha
|
||||
$|A| = |B|$ és minden $X \subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
|
||||
*** Frobenius tételének bizonyítása
|
||||
A szükségesség itt is nyilvánvaló,hiszen minden $A\text{-beli}$ csúcshoz egy
|
||||
$B\text{-beli}$ csúcsot akarunk rendelni.
|
||||
|
||||
A Hall tételben már láttuk az elégségességét,és mivel $|A|=|B|$,így a szerepük felcserélhető
|
||||
*** Következmény
|
||||
Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf d-reguláris, ahol $d \geq 1$ tetszőleges egész, akkor $G$ -ben van teljes párosítás.
|
||||
Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf $d\text{-reguláris}$, ahol $d \geq 1$ tetszőleges egész,
|
||||
akkor $G$ -ben van teljes párosítás.
|
||||
*** Következmény bizonyítása
|
||||
Mivel $G$ $d\text{-reguláris}$, ezért $|E|=d\cdot|A|$ és $|E|=d\cdot|B|$. Ezek
|
||||
miatt $|A|=|B|$ adódik.
|
||||
|
||||
Legyen $X\subseteq A$ tetszőleges csúcshalmaz, és jelölje $E_X$ az $X\text{-re}$
|
||||
illeszkedő élek halmazát. Mivel minden $X\text{-beli}$ csúcsra $d$ darab
|
||||
$E_X\text{-beli}$ él illeszkedik,így $|E_X|=d\cdot|X|$. $N(X)$ csúcsokra nem
|
||||
csak $E_X\text{beli}$ élek illeszkedhetnek,de az elmondható,hogy legfeljebb $d$
|
||||
darab illeszkedik, így $|E_X|\leq d\cdot|N(X)|$. Így adódik,hogy $|X|<|N(X)|$,
|
||||
ezzel beláttuk a tételt.
|
||||
* Gráfok élszínezése $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
|
||||
** Definíció
|
||||
Legyen $G$ egy gráf és $k \geq 1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel élszínezhető, ha a $G$ minden éle kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue