13. Tétel elkészítés és 14. Állítások és Definíciók hozzáadása

13. A DFS algoritmus, DFS-erdő, az élek osztályozása, osztályzás az algoritmus futása
közben. A DFS alkalmazása az aciklikusság eldöntésére, illetve topologikus sorrend meghatározására.

bsz2.org

@@ -324,7 +324,7 @@
     olyan zárt élsorozata $G\text{-nek}$,amelyben az előforduló élek száma
     maximális. Indirekt módon tegyük fel,hogy $H$ nem egy Euler-köre
     $G\text{-nek}$. Vizsgáljuk meg a $G'$ gráfot,amit úgy kapunk,hogy $G\text{-ből}$
-    elhagyjuk a $H$ kört. $G'$ nem feltétlenül összefüggő,viszont összesen
+    elhagyjuk a $H$ kör éleit. $G'$ nem feltétlenül összefüggő,viszont összesen
     $n\text{-nél}$ kevesebb pontja,van hiszen a kiinduló pont nincs benne. Az
     indukciós feltétel alapján, $G'$ minden komponensében van Euler-kör. Mivel $G$
     összefüggő , $G'$ valamelyik komponensének van olyan pontja,amelyik
@@ -1214,6 +1214,9 @@ a $G\text{-nek}$ egy tetszőleges éle. Ekkor
    -ből $u$ -ba nincs irányított út (vagyis $u$ és $v$ között nincs „egyenes ági
    leszármazási viszony”). 
 ** Tétel
+:PROPERTIES:
+:CUSTOM_ID: dfs
+:END:
 Tegyük fel, hogy a $G$ irányított gráfra a DFS algoritmust futtatva az
 éppen az $e = (a, v)$ élen próbál továbblépni (így az aktív csúcs jelenleg $a$). Ekkor
 $e$ erre a DFS bejárásra vonatkozóan akkor és csak akkor lesz
@@ -1249,7 +1252,69 @@ indítva. $G$ akkor és csak akkor aciklikus, ha az eljárás során nem keletke
 visszaél és ebben az esetben a befejezési számozás szerinti fordított sorrendben
 felsorolva $G$ csúcsait topologikus rendezést kapunk.
 *** Bizonyítás
+- Ha keletkezik egy $e=(a,v)$ visszaél,akor $G$ nyilván tartalmaz irányított
+  kört: $F$ DFS-erdő tartalmaz $v \rightarrow a$ utat,ha ezt kiegészítjük
+  $e\text{-vel}$ akkor egy kört kapunk.
+- Tegyük fel, hogy nem keletkezett visszaél,így $G $minden $e=(a,v)$ éle
+  faél,előreél vagy keresztél. Ekkor be kell látnunk,hogy $f(v)<f(a)$,mert ezzel
+  a második állítás is igaz
+- Használjuk fel a [[#dfs]] tétel bizonyításában használt elveke.
+- Ha $e$ faél vagy előreél, akkor $kezd(v)$ $I(a)\text{-be}$ tartozik,így $F_a$
+  részgráfja $F_$v\text{-nek}, azaz $f(a)<f(a)$
+- Ha $e$ keresztél, akkor $T$ pillanatban már $f(v) \ne *$,viszont $f(a)=*$, így
+  valóban $f(v)<f(a)$
+* Legrövidebb utak meghatározása adott csúcsból
+** Definíció
+A $G = (V, E)$ irányított gráf élein a $w : E \rightarrow \mathbb{R}$ függvényt
+konzervatívnak nevezzük, ha $G$ minden (hurokéltől különböző, vagyis legalább két
+élű) irányított körének éleire a $w(e)$ értékek összege nemnegatív.
+** Állítás
+ Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, az $s, v \in V (G)$, $s \neq v$ csúcsok
+és $G$ élein a $w : E\rightarrow\mathbb{R}$ konzervatív hosszfüggvény. Ekkor ha létezik $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ egy
+$t$ összhosszúságú, $k$ élből álló $Q$ élsorozat, akkor létezik $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ egy legföljebb $t$
+összhosszúságú és legföljebb $k$ élű $P$ út is.
+*** Bizonyítás
+*** Következmény
+ Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, az $s, v \in V (G)$
+csúcsok és $G$ élein a $w : E \rightarrow\mathbb{R}$ konzervatív hosszfüggvény. Ha az $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ vezető
+$P$ legrövidebb út áthalad az $u$ csúcson, akkor $P\text{-nek}$ az $s\text{-től}$ $u\text{-ig}$ tartó $P$ $u$ szakasza
+egy $s\text{-ből}$ $u\text{-ba}$ vezető legrövidebb út.
+*** Következmény bizonyítása
+** A Bellman-Ford algoritmus
+*** Állítás
+ Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, az $s, v \in V (G)$, $v \neq s$ csúcsok
+és $G$ élein a $w : E \rightarrow \mathbb{R}$ konzervatív hosszfüggvény. Ekkor minden $k \geq 1$ esetén
+\begin{align}
+t_k (v) = \min{\{\{t_{k−1}(v)\} \cup \{t_{k−1} (u) + w(e) : e = (u, v), e \in E(G)\}\}}
+\end{align}
+**** Bizonyítás
+*** Az algoritmus
 
+*** Állítás 
+ Tegyük fel, hogy lefuttattuk a Bellman-Ford algoritmust az $n$ csúcsú
+$G = (V, E)$ irányított gráfból, a $w : E \rightarrow \mathbb{R}$ hosszfüggvényből és az $s \in V$ csúcsból
+álló bemenetre. Jelölje $G_s$ az $s\text{-ből}$ $G\text{-beli}$ irányított úton
+elérhető csúcsok és a köztük vezető élek által alkotott részgráfot. Ekkor $w$
+akkor és csak akkor konzervatív $G_s\text{-en}$, ha $G_s$ minden $e = (u, v)$
+élére $t_{n−1} (v) \leq t_{n−1} (u) + w(e)$ teljesül.
+
+**** Bizonyítás
+
+** Dijkstra algoritmusa
+*** Állítás
+Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, az $s \in V (G)$ csúcs és a
+$w : E \rightarrow  \mathbb{R}^+ \cup \{0\}$ nemnegatív hosszfüggvény.
+- Jelölje továbbra is minden $v \in V (G)$ csúcsra $t(v)$ az $s\text{-ből}$ $v\text{-be}$ vezető
+  legrövidebb út hosszát.
+- Legyen $K \subseteq V$ egy tetszőleges olyan csúcshalmaz, amire $s \in K$ és $K \neq V$
+- Minden olyan $v \notin K$ csúcsra, amibe vezet él $K\text{-beli}$ csúcsból,
+  legyen $t'(v) = \min{\{t(u) + w(e) : e = (u, v), u \in K\}}$.
+- Ha a $v \notin K$ csúcsba nem vezet él $K\text{-beli}$ csúcsból, akkor legyen $t'(v) = \infty$.
+- Legyen $a \notin K$ olyan csúcs, amire $t'(a) = \min\{t'(v) : v \notin K\}$. 
+
+Ekkor $t\notin (a) = t(a)$.
+**** Bizonyítás
+*** Az algoritmus
 
 * Hivatkozások
   \clearpage