13. tétel félkész

bsz2.org

@@ -297,7 +297,7 @@
     A $K_{3,3}$ nem tartalmaz 3 hosszú utat, így alkalmazható a [[*Becslés az élek
     számára háromszögmentes gráfban]] tétel.A $K_{3,3}\text{-nak}$ 6 csúcsa és 9 éle
     van: $9>2\cdot6-4=8$,ez  ellentmondás,azaz a $K_{3,3}$ sem rajzolható síkba.
-** Síkbabarjzolható gráfok dualitása
+** TODO Síkbabarjzolható gráfok dualitása
 
 * Euler- és Hamilton körök $\protect \footnote{ \cite{kv} alapján.}$
 ** Definíció
@@ -365,7 +365,7 @@
     Hamilton-útból elhagyunk $k$ pontot, legfeljebb $k+1$ összefüggő marad.
 ** Tétel(Ore)
    Ha az $n$ pontú $G$ gráfban minden olyan $x, y \in V (G)$ pontpárra, amelyre
-   ${x, y}\in E(G)$ \footnote{Tehát szomszédosak} teljesül az is, hogy $d(x) + d(y) \geq
+   ${x, y} \notin E(G)$ \footnote{Tehát szomszédosak} teljesül az is, hogy $d(x) + d(y) \geq
    n$, akkor a gráfban van Hamilton-kör. 
 *** Bizonyítás
     Indirekten tegyük fel,hogy a gráf kielégíti a feltételt,de nincs benne
@@ -411,7 +411,7 @@
 ** Tétel(Zykov konstrukciója)
    Minden $k\geq2$ esetén létezik olyan $G_k$ gráf, amire $\omega(G_k ) = 2$ és
    $\chi(G_k ) = k$.
-*** Bizonyítás
+*** TODO Bizonyítás
     *NEM, KÖSZÖNÖM MÁR JÓLLAKTAM!*
 ** Állítás
    Legyen $G$ (hurokélmentes) gráf és jelölje $\Delta(G)$ a $G$ -beli maximális
@@ -1186,6 +1186,70 @@ Keressük meg a $s \rightarrow v$  legrövidebb utat!
   utak mennek bele,amelyek elérhetőek $s\text{-ből}$ és ezek közül kiválasztjuk
   a legkisebb súlyút.
 Ez az algoritmus leghosszabb út keresésére is alkalmazható.
+* Mélységi keresés
+** Az algoritmus
+Vegyünk egy tetszőleges $G$ gráfot, és válasszunk ki egy tetszőleges $s$
+csúcsot. Az algoritmus futtatásakor három változót is fenntartunk: A mélységi
+számát(hány csúcsban járt már;Jele: $d(v)$), befejezési szám(hány csúcs lett
+befejezve;Jele: $f(v)$) és az legutóbb bejárt csúcsot(Jele: $m(v)$). A
+kiválasztott $s$ csúcsból kiindulva véletlenszerűen választunk a gráfból egy élt(ami olyan
+csúcsba vezet,ahol még nem jártunk),amerre mehetünk. Ezt addig folytatjuk,amíg
+lehetséges. Minden egyes csúcsbalépéskor növeljük a mélységi számot. Ha az
+algoritmus eljut egy olyan csúcsig,amiből nem vezet több út,akkor egyel
+visszalép,és növeli a befejezési számot. Ha a gráf nem összefüggő és az
+algoritmus az adott komponensben már nem tud tovább lépni, akkor az eddig nem
+bejárt csúcsok közül választ egy tetszőlegest. 
+** DFS erdő
+A DFS által bejárt élek egy erdőt alkotnak.
+** Definíció
+ Tegyük fel, hogy az $s$ csúcsból indítva lefuttattuk a DFS algoritmust
+a $G$ irányított gráfban. Jelölje a futáshoz tartozó DFS-erdőt $F$. Legyen $e = (u, v)$
+a $G\text{-nek}$ egy tetszőleges éle. Ekkor
+1. $e\text{-t}$ faélnek nevezzük, ha $e \in E(F)$;
+2. $e\text{-t}$ előreélnek nevezzük, ha nem faél, de $F$-ben van $u$ -ból $v$ -be irányított út
+   (vagyis $v$ „leszármazottja” $u$ -nak);
+3. $e\text{-t}$ visszaélnek nevezzük, ha $F$ -ben van $v$ -ből $u$ -ba irányított út (vagyis $v$
+   „őse” $u$ -nak);
+4. $e\text{-t}$ keresztélnek nevezzük, ha $F$ -ben sem $u$ -ból $v$ -be, sem $v$
+   -ből $u$ -ba nincs irányított út (vagyis $u$ és $v$ között nincs „egyenes ági
+   leszármazási viszony”). 
+** Tétel
+Tegyük fel, hogy a $G$ irányított gráfra a DFS algoritmust futtatva az
+éppen az $e = (a, v)$ élen próbál továbblépni (így az aktív csúcs jelenleg $a$). Ekkor
+$e$ erre a DFS bejárásra vonatkozóan akkor és csak akkor lesz
+1. Faél, ha $d(v) = ∗$;
+2. Előreél, ha $d(v) > d(a)$;
+3. Visszaél, ha $d(v) < d(a)$ és $f(v) = ∗$;
+4. Keresztél, ha $d(v) < d(a)$ és $f(v) \neq ∗$.
+*** Bizonyítás 
+- Ha $d(v)=*$,akkor $m(v)=a$,tehát $e$ valóban faél.
+- Egészítsük ki az algoritmust egy $T$ változóval, ami az eltelt időt
+  jelenti. Ezzel minden $v$ csúcshoz hozzárendelhetünk egy  $kezd(v)$ kezdési
+  időt,és egy $bef(v)$ befejezési időt. A kettő közti intervallumot
+  $I(v)\text{-tel}$ jelöljük
+- Az eljárás során, $T$ változót mindig növeljük meg, ha belépünk egy új csúcsba.
+- Először vegyük észre,hogy ha veszünk egy $I(v)$ időintervallumot, akkor ehhez
+  megfeleltethetünk egy $F_v$ fát,amit ez alatt jár be. Ez egy részgráf lesz
+  $F\text{-nek}$.
+- Tegyük fel hogy az $(a,v)$ élen a $T$ pillanatban próbál továbblépni. Ekkor
+  $kezd(a)\leq T \leq bef(a)$.
+- Ha $d(v)>d(a)$, akkor $kezd(a)$ pillanatban $d(v)=*$ volt,így $v \in F_a$,azaz
+  $e$ egy előreél
+- Ha $d(v)<d(a)$, akkor $kezd(v)$ pillanatban $d(a)=*$ volt. Ha emellett
+  $f(v)=*$ is igaz,akkor $kezd(v)<kezd(a)<\leq T < bef(v)$. Ezért $a \in F_v$,
+  így $e$ valóban visszaél.
+- Ha $d(v)<d(a)$ és $f(v) \neq *$,akkor $kezd(a)$ pillanatban $I(v)$ már véget
+  ért. Így $a \notin F_v$ és $v \notin F_a$,így nincs irányított út
+  $F\text{-ben}$ $a \rightarrow v$ irányított út,vagyis $e$ keresztél
+
+Mivel minden lehetőséget lefedtünk,így definíció szerint az állításokat beláttuk.
+** Tétel
+ Futtassuk le a DFS algoritmust a $G$ irányított gráfban az $s$ csúcsból
+indítva. $G$ akkor és csak akkor aciklikus, ha az eljárás során nem keletkezik
+visszaél és ebben az esetben a befejezési számozás szerinti fordított sorrendben
+felsorolva $G$ csúcsait topologikus rendezést kapunk.
+*** Bizonyítás
+
 
 * Hivatkozások
   \clearpage