Added even more proofs

bsz2.org

@@ -385,7 +385,7 @@ különböző színt kell kapnia.Így legalább $\omega(G)$ színt használ,teh
 Minden $k\geq2$ esetén létezik olyan $G_k$ gráf, amire $\omega(G_k ) = 2$ és
 $\chi(G_k ) = k$.
 *** Bizonyítás
-\section*{NEM, KÖSZÖNÖM MÁR JÓLLAKTAM!}
+  *NEM, KÖSZÖNÖM MÁR JÓLLAKTAM!*
 ** Állítás
  Legyen $G$ (hurokélmentes) gráf és jelölje $\Delta(G)$ a $G$ -beli maximális
 fokszámot (vagyis a $G$ -beli csúcsok fokszámai közül a legnagyobbat). Ekkor a
@@ -416,8 +416,25 @@ intervallumrendszer reprezentálja. Ekkor ha az ${I_1 ,I_2,\dots, I_n }$
 intervallumokat a baloldali végpontjuk szerinti növekvő sorrendbe rendezzük és
 $G$ csúcsainak erre a sorrendjére hajtjuk végre a mohó színezést, akkor az
 eljárás $G$ -t optimális számú, $\chi(G)$ színnel színezi meg.
+*** Bizonyítás
+Jelölje a mohó színezés által használt színek számát $k$. Ekkor a következő
+igaz lesz rá:
+\begin{align}
+k\leq\omega(G)\leq&\underbrace{\chi(G)\leq k}_\text{$k$ szín elég volt}
+\end{align}
+Megmutatjuk hogy a legnagyobb klikk($\omega(G)$) ilyenkor pontosan $k$. Nézzük
+az első olyan $I_j$ intervallumot,amely a $k.$ színt kapta az eljárásban. Ekkor
+bal végpontja benne van a korábbi $I_t,I_{t+1},\dots, I_{t+k-1}$
+intervallumokban. Ezek az $I_j$ intervallummal egy $k$ csúcsú klikket
+alkotnak,azaz $\omega(G)=k=\chi(G)$. 
 *** Következmény
  Ha $G$ intervallumgráf, akkor rá $\omega(G) = \chi(G)$ teljesül.
+*** Következmény bizonyítása
+Minden intervallumgráfhoz tartozik $k$ darab szín,amivel már kiszínezhető. Az
+előző tételből pedig láttuk,hogy $k=\omega(G)$. Így adódik a következő:
+\begin{align}
+k\leq\omega(G)\leq&\chi(G)\leq k
+\end{align}
 ** Definíció
 A $G$ gráfot páros gráfnak nevezzük, ha a $V(G)$ csúcshalmaza felbontható az $A$
 és $B$ diszjunkt halmazok egyesítésére úgy, hogy a $G$ minden éle egy $A$ -beli
@@ -427,10 +444,20 @@ helyett a $G = (A, B; E)$ jelölést is használjuk.
 ** Tétel
 A $G$ gráf akkor és csak akkor páros gráf, ha nem tartalmaz páratlan
 hosszú kört.
+
+*** Bizonyítás
+Ha $G$ páros gráf, és $C$ egy kör $G\text{-ben}$,akkor $C$ pontjai felváltva
+vannak $A\text{-ban}$ és $B\text{-ben}$,így $V(C)$ nyilván páros. Ha $G$ minden
+köre páros,akkor megadhatunk egy $A$ és $B$ halmazt. Választunk egy tetszőleges
+pontot. Ez lesz az $A$ halmaz első pontja. A szomszédjait $B$ halmazba
+tesszük. A $B$ halmazbeliek szomszédait $A$ halmazba tesszük,és ezeket a
+lépéseket addig ismételjük, amíg az össze pont bekerült az egyik halmazba. Ez
+biztosan jó elosztás lesz,hiszen ha például $A$ halmazban lenne két
+szomszédos,akkor lenne benne páratlan kör,így ellentmondásra jutnánk.
 ** Állítás
 Minden $k \geq 1$ egész esetén létezik olyan ($2k$ csúcsú) $G$ gráf és a $G$ csúcsainak egy olyan sorrendje, hogy $\chi(G) = 2$, de a mohó színezést a $G$ -re a
 csúcsoknak ebben a sorrendjében futtatva az eljárás $k$ színt használ.
-* Párosítások
+* Független/Lefogó pont-/élhalmaz $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
 ** Definíció 
  A $G$ gráfban az $M\subseteq E(G)$ élhalmazt párosításnak vagy független
 élhalmaznak nevezzük, ha ($M$ nem tartalmaz hurokélt és) $M$ semelyik két élének
@@ -447,6 +474,12 @@ ponthalmaz. A $G$ -beli minimális lefogó ponthalmazok méretét $\tau(G)$ jel
 
 ** Állítás 
 Minden $G$ gráfra $\nu(G)\leq\tau(G)$ teljesül.
+*** Bizonyítás
+Legyen $|M|=\nu(G)$ és $|X|=\tau(G)$.$X$ minden élnek legalább az egyik végpontját
+tartalmazza,így nyilván $M$ éleire is teljesül. Azonban ugyanaz az
+$X\text{-beli}$ csúcs nem illeszkedhet két $M-\text{-beli}$ élre is,mert $M$
+/párosítás/. Tehát, minden $M\text{-beli}$ élre $X\text{-beli}$ csúcsnak kell
+illeszkedni,így $|M|\leq |X|$
 ** Definíció 
  A $G$ gráf csúcsainak egy $Y\subseteq V(G)$ halmazát független ponthalmaznak nevezzük, ha $Y$ -nak semelyik két tagja nem szomszédos $G$ -ben (és $Y$ -beli csúcsra hurokél sem illeszkedik). A $G$ -beli független ponthalmazok közül a maximálisaknak a méretét $\alpha(G)$ jelöli.
 ** Definíció 
@@ -454,28 +487,94 @@ Minden $G$ gráfra $\nu(G)\leq\tau(G)$ teljesül.
 halmazát lefogó élhalmaznak nevezzük, ha a $G$ -nek minden csúcsára illeszkedik
 legalább egy $Z$ -beli él. A $G$ -beli lefogó élhalmazok közül a minimálisaknak a méretét $\rho(G)$ jelöli.
 ** Állítás 
-Minden (izolált pontot nem tartalmazó) $G$ gráfra $\alpha(G)\leq\rho(G)$ teljesül.
+Minden (izolált pontot nem tartalmazó) $G$ gráfra $\alpha(G)\leq\rho(G)$
+teljesül.
+*** Bizonyítás
+Legyen $Y$ egy maximális független ponthalmaz és $Z$ egy minimális lefogó
+élhalmaz. Mivel $Z$ lefogó élhalmaz,minden csúcsra illeszkedik $Z\text{-beli}$
+él,de két $Y\text{-beli}$ csúcsot nem köthet össze egy $Z-\text{-beli}$. Így
+$|Y|\leq |Z|$ és így tehát $\alpha(G)\leq\rho(G)$
 ** Állítás
 Legyen $G$ tetszőleges gráf, $X\subseteq V(G)$ csúcshalmaz és $Y = V (G) \ X$
 az $X$ komplementere. Ekkor az $X$ pontosan akkor minimális lefogó ponthalmaz
 $G$ -ben, ha $Y$ maximális független ponthalmaz $G$ -ben.
-** Állítás 
+*** Bizonyítás
+Legyen $H\subseteq V(G)\text{ és } \overline{H}=V(G)/H$
+csúcshalmazok. Megmutatjuk hogy $H$ pontosan akkor lefogó ponthalmaz,ha
+$\overline{H}$ független ponthalmaz. Az,hogy $H$ lefogó ponthalmaz, az azt
+jelenti,hogy $G$ gráfnak minden ${u,v}$ élére $u\in H$ és/vagy $v\in H$
+teljesül. Tehát, nincs olyan ${u,v}$ él,hogy $u\in \overline{H}$ és $v\in
+\overline{H}$. Ez pedig pontosan azt jelenti,hogy $\overline{H}$ független
+ponthalmaz.
+
+Tegyük fel,hogy $X$ minimális lefogó ponthalmaz,ebből következik hogy
+$Y=\overline{X}$ független ponthalmaz. Ha nem volna az,akkor létezne egy
+másik,maximális független $Y_1$ ponthalmaz(tehát $|Y_1|>|Y|$). Ekkor viszont
+létezne $X\text{-nél}$ kisebb lefogó ponthalmaz,ami ellentmond a feltevésnek.
+
+Hasonlóan belátható a másik irányba is.
+** Lemma
  Legyen $G$ egy $n$ csúcsú, izolált pontot nem tartalmazó gráf, $k$ pedig tetszőleges nemnegatív egész. Ekkor:
  
  - ha $G$ -ben van $k$ élű párosítás, akkor $G$ -ben van legföljebb $n-k$ élű lefogó élhalmaz;
  - ha $G$ -ben van $k$ élű lefogó élhalmaz, akkor $G$ -ben van legalább $n-k$ élű
    párosítás.
+*** Bizonyítás
+Legyen $M$ egy $k$ élű párosítás. Minden olyan $v$ csúcsot esetén,amit  $M$ nem fed le,
+válasszunk  egy tetszőleges $v\text{-re}$ illeszkedő élt és egészítsük ki
+$M\text{-et}$; a kapott élhalmazt jelölje $Z$. Mivel $M$ összesen $2k$ végpontja
+van, így $n-2k$ élt nem fed le. Így $|Z|\leq k+(n-2k)=n-k$
 
+Legyen $Z$ egy $k$ élű lefogó halmaz $G\text{-ben}$ és $H=(V(G),Z)$
+gráf. Ha van $H$ gráfban izolált pont, akkor azokhoz rendeljünk egy hurokélt. 
+Jelölje $c$ a $H$ legalább két csúcsból álló komponenseinek számát. Mivel
+a komponensek nyilván összefüggő,így legalább $n_i-1$ éle van. Ezért a legalább
+két csúcsú komponensek együttes élszáma legalább $n-c$. Ezekből $l\geq
+n-c\implies c\geq n-k$
+
+Most vegyük $H$ minden legalább két csúcsú komponenséből egy-egy tetszőleges
+élt(amin nem hurokél). A kapott élhalmazt jelölje $M$. Ekkor $|M|=c\geq
+n-k$,valamint $M$ nyilván párosítás,hiszen különböző komponensekből vett éleknek
+nem lehet közös végpontja.
 ** Gallai tétele
 Minden $n$ csúcsú $G$ gráfra fennállnak az alábbiak:
 -  $\alpha(G)+\tau(G) =n$
 -  $\nu(G)+\rho(G)=n$,ha G-nek nincs izolált pontja.
+*** Bizonyítás
+Ha $X$ egy minimális lefogó ponthalmaz, akkor $Y=V(G)/X$ maximális független
+ponthalmaz. Mivel $|X|=\tau(G)$ és $|Y|=\alpha(G)$, valamint $|X|+|Y|=n$,így /(i)/
+állítás tényleg igaz.
 
+Legyen $M$ egy maximális, $\nu(G)$ élű párosítás. Ekkor az előző tétel alapján:
+\begin{align}
+\rho(G)&\leq n-\nu(G)\\
+ \rho(G)+\nu(G)&\leq n
+\end{align}
+
+Most legyen $Z$ egy minimális,$\rho(G)$ élű párosítás. Ekkor az előző tétel
+alapján: 
+\begin{align}
+\nu(G)&\geq n-\rho(G) \\
+\nu(G)+\rho(G)&\geq n
+\end{align}
+
+A kettőt összevetve pont a /(ii)/ állítást kapjuk.
 ** Összefoglaló táblázat
 |      | Maximális független | Minimális lefogó | Összeg |
 | pont | $\alpha$            | $\tau$           | $n$    |
 | él   | $\nu$               | $\rho$           | $n$    |
+** Tutte tétele
+A $G$ gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha a csúcsok minden
+$X\subseteq V(G)$ részhalmazára $c_p (G - X) \leq |X|$ teljesül.
 
+Más szóval: pontosan akkor létezik teljes párosítás $G$ gráfban,ha
+$G\text{-ből}$ bárhogyan $k$ darab csúcsot elhagyva a kapott gráfban páratlan
+sok csúcsú komponenseinek száma legfeljebb $k$. 
+
+*** TODO Bizonyítás
+
+   
+* Párosítások $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
 ** Definíció 
 Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$ -ben. Ekkor
 egy $G$ -beli $P$ út javítóút $M$ -re nézve, ha rá az alábbiak teljesülnek:
@@ -484,10 +583,14 @@ egy $G$ -beli $P$ út javítóút $M$ -re nézve, ha rá az alábbiak teljesüln
 
 (2) $P$ egy $M$ által nem fedett $B$ -beli csúcsban ér véget;
 
-(3) $P$ -nek minden páros sorszámú éle (tehát a második, negyedik stb.) $M$ -beli.
+(3) $P$ -nek minden páros sorszámú éle (tehát a második, negyedik stb.) $M$
+-beli.
 ** Definíció\label{def1} 
 Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $M$ egy párosítás $G$ -ben. A
-$G$ -beli $P$ utat alternáló útnak hívjuk, ha rá a  \ref{def1}. Definíció (1) és (3) követelményei teljesülnek (de a (2) nem feltétlenül). Más szóval: alternáló útnak az olyan utakat nevezzük, amelyek párosítás által nem fedett $A$ -beli csúcsból indulnak és minden második élük $M$ -beli.
+$G$ -beli $P$ utat alternáló útnak hívjuk, ha rá a  \ref{def1}. Definíció (1) és
+(3) követelményei teljesülnek (de a (2) nem feltétlenül). Más szóval: alternáló
+útnak az olyan utakat nevezzük, amelyek párosítás által nem fedett $A$ -beli
+csúcsból indulnak és minden második élük $M$ -beli.
 ** Lemma
 Tegyük fel, hogy a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút $G$ -ben. Vezessük be az alábbi jelöléseket:
 
@@ -500,7 +603,8 @@ lefedettek, de nem vezet hozzájuk alternáló út).
 
 (4) Jelölje $B_2$ , illetve $B_3$ az $A_2$, illetve $A_3$ csúcsainak $M$ szerinti párjaiból álló $B$ -beli csúcsok halmazait.
 
-Ekkor $G$ -nek nincs olyan éle, amely $A_1 \cup A_2$ és $B_1 \cup B_3$ között vezet.
+Ekkor $G$ -nek nincs olyan éle, amely $A_1 \cup A_2$ és $B_1 \cup B_3$ között
+vezet.
 ** Tétel
 Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf $M$ párosítására nézve nincs javítóút,
 akkor $M$ maximális párosítás $G$ -ben.
@@ -509,19 +613,19 @@ Minden $G$ páros gráfra $\nu(G) = \tau(G)$ teljesül.
 *** Következmény
 Ha a $G$ páros gráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor rá $\alpha(G) = \rho(G)$ teljesül.
 ** Definíció 
-Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $X\subseteq A$ egy tetszőleges részhalmaza $A$ -nak. Ekkor az $X$ szomszédságának nevezzük és $N(X)$ -szel jelöljük a $B$ -nek azt a részhalmazát, amely azokból a $B$ -beli csúcsokból áll, amelyeknek van (legalább egy) szomszédja $X$ -ben. Képletben:
+Legyen $G = (A, B; E)$ páros gráf és $X\subseteq A$ egy tetszőleges részhalmaza
+$A$ -nak. Ekkor az $X$ szomszédságának nevezzük és $N(X)$ -szel jelöljük a $B$
+-nek azt a részhalmazát, amely azokból a $B$ -beli csúcsokból áll, amelyeknek
+van (legalább egy) szomszédja $X$ -ben. Képletben:
  $$N(X) = \{b\in B : \exists a \in X, {a, b} \in E(G) \}$$
 ** Tétel
-	A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A$ -t lefedő
+A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik $A$ -t lefedő
 párosítás, ha minden $X\subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
 *** Következmény (Frobenius tétele)
 A $G = (A, B; E)$ páros gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha
 $|A| = |B|$ és minden $X \subseteq A$ részhalmazra $|N(X)| \geq |X|$ teljesül.
 *** Következmény
 Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf d-reguláris, ahol $d \geq 1$ tetszőleges egész, akkor $G$ -ben van teljes párosítás.
-** Tutte tétele
-A $G$ gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha a csúcsok minden
-$X\subseteq V(G)$ részhalmazára $c_p (G - X) \leq |X|$ teljesül.
 * Gráfok élszínezése $\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}$
 ** Definíció
 Legyen $G$ egy gráf és $k \geq 1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel élszínezhető, ha a $G$ minden éle kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$