Added some proofs
This commit is contained in:
parent
d4985346d2
commit
2f15e9dd11
2 changed files with 157 additions and 24 deletions
177
bsz2.org
177
bsz2.org
|
|
@ -80,8 +80,14 @@ vagy csűcsoknak, E elemeit pedig éleknek nevezzük.
|
|||
Olyan gráf,amely nem tartalmaz hurok- és párhuzamos éleket.
|
||||
** Részgráf
|
||||
$G'(V',G')$ gráf részgráfja $G(V,E)$ -nek,ha $V'\leq V$,$E'\leq E$ és minedn $E'$ -beli él végpontja $V'$ elemei.
|
||||
** Feszített részgráf
|
||||
$G'(V',E')$ feszített részgráfja $G(V,E)\text{-nek}$, ha $V'\leq V$ és $E'$ az
|
||||
összes $E\tex{-beli}$ él,ami a $V'\text{-beli}$ csúcsok között fut.
|
||||
** Állítás
|
||||
A fokok összege az élek számának kétszerese.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
Amikor a fokok számát öszegezzük,minden pontra megszámoljuk a hozzá illeszkedő
|
||||
éleket. Mivel minden élnek két végpontja van, így minden élet pontosan kétszer számolunk.
|
||||
** Teljes gráf
|
||||
Bármely két különböző csúcs össze van kötve.
|
||||
** Komplementer gráf
|
||||
|
|
@ -101,29 +107,168 @@ Két gráf akkor összefüggő ha bármely két csúcsa közt létezik élsoroza
|
|||
Összefüggő feszített részgráf,amelyből nem emgy ki él.Nem bővíthető tovább összefüggő pontal.
|
||||
** Állítás
|
||||
Ha $G$ egy $n$ csúcsú összefüggő gráf, akkor minimum $n-1$ éle van.
|
||||
** Definíció
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
Legyen kezdetben $n$ izolált pont($n$ komponens). Kössünk össze kettőt csúcsot egy
|
||||
éllel, ekkor $n-1$ komponensből fog állni. Folytatjuk a különböző komponensek
|
||||
összekötését addig,amíg 1 összefüggő gráfunk nem lesz. Ez az algoritmus $n-1$
|
||||
lépés után megáll,tehát $n-1$ élt húzott be,ezzel bizonyítva az állítást.
|
||||
** Fa
|
||||
Az összefüggő, körmentes gráfokat fának nevezzük.
|
||||
** Tétel
|
||||
Minen legalább 2 pontú fában van legalább két első fokú pont.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
Legyen a fában a leghoszabb út a $v_1,v_2,\dots,v_k$ csúcsokból álló. Belátjuk,
|
||||
hogy mindkét végpont elsőfokú.
|
||||
|
||||
Tegyük fel hogy $v_k$ nem elsőfokú ,azaz vezet belőle egy él a fa valamely
|
||||
pontjába. Az út többi pontjába nem vezethet,hiszen akkor kört alkotna. Ha pedig
|
||||
egy új $v_{k+1}$ pontba vezet az él, akkor az eredeti út nem a leghoszabb lenne,
|
||||
ez pedig ellentmondás.
|
||||
** Tétel
|
||||
Minden $n$ csúcsú fának pont $n-1$ éle van.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
Teljes indukcióval bizonyítjuk. $n=2\text{-re}$ triviálisan teljesül. Tegyük fel
|
||||
hogy az állítás igaz minden $n<n_0$ esetén.
|
||||
** Lemma
|
||||
$G$ körmentes, $n$ csúcsú gráf. Ekkor legfeljebb $n-1$ éle van $G$ -nek.
|
||||
Tudjuk hogy minden $n$ csúcsú összefüggő gráfnak minimum $n-1$ éle van,tehát azt
|
||||
kell belátnunk,hogy fák esetén ennél nem nagyobb.Ehhez egy lemmát vezetünk
|
||||
be.
|
||||
*** Lemma
|
||||
$G$ körmentes, $n$ csúcsú gráf. Ekkor legfeljebb $n-1$ éle van $G$ -nek.
|
||||
*** Lemma bizonyítása
|
||||
Legyen kezdetben $n$ darab izolált pontunk. Ha egy komponensen belül rajzolnánk
|
||||
be éleket,akkor kört alkotnának. Ha két különböző komponenst kötünk össze,akkor
|
||||
egyel kevesebb komponensünk lesz. Ezt az eljárást folytatva maximum $n-1$ lépés
|
||||
után megáll.
|
||||
** Állítás
|
||||
Minden legalább $2$ csúcsú fának van levele.
|
||||
** Feszítőfa
|
||||
$G$ -nek $F$ feszítőfája, ha $F$ fa és $F$ részgráfja G-nek,$F$ minden csúcsot tartalmaz.
|
||||
* Gráfok bejárása
|
||||
$G$ -nek $F$ feszítőfája, ha $F$ fa és $F$ részgráfja G-nek,$F$ minden csúcsot
|
||||
tartalmaz.
|
||||
** Tétel
|
||||
Minden összefüggő gráf tartalmaz feszítőfát.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
Ha $G\text{-ben}$ van kör,akkor hagyjuk el a kör egy tetszőleges élét.Ha a
|
||||
maradék gráfban még mindig van kör,akkor ismét hagyjunk el egy élet belőle. Az
|
||||
eljárást folytassuk amíg van benne kör. Az eljárás végeztével, egy összefüggő
|
||||
(hiszen mindig egy kör egyik élét hagytuk el) körmentes gráfot kapunk,ami fa.
|
||||
* Gráfok bejárása $\protect \footnote{ \cite{kv} alapján.}$
|
||||
** Szélességi bejárás (BFS)
|
||||
stuff
|
||||
** Minimális összsúlyú feszítőfák
|
||||
*** Az algoritmus
|
||||
Tegyük fel,hogy az $a$ pontból kiindulva akarjuk ''bejárni'' a gráfot. Először
|
||||
járjuk be sorba $a$ összes szomszédját. Utána járjuk be $a$ első szomszédjának
|
||||
szomszédait,ahol még nem jártunk, majd $a$ második szomszédjának összes
|
||||
szomszédját, és így tovább. Ha már bejártuk $a$ összes szomszédjának összes
|
||||
szomszédját,akkor mehetünk abba a pontba,ahol legrégebben jártunk azok közül,
|
||||
amelyeknek még nem néztük végig a szomszédait. Ezt az eljárást folytatjuk, amíg
|
||||
tudjuk.
|
||||
*** Állítás
|
||||
A BFS-fában, az $i\text{-edik}$ szint csúcsai $i$ távolságra vannak a kezdőponttól.
|
||||
** Minimális összsúlyú feszítőfák(feszítőerdő)
|
||||
Rendeljünk egy $G$ gráf éleihez súlyokat,nemnegatív valós számokat. Jelöljük
|
||||
$s(e)\text{-vel}$ az $e\text{-hez}$ rendelt súlyt. Ha $X\subseteq E(G)$, akkor
|
||||
$X$ súlya $\sum_{e\in X} s(e)$.
|
||||
|
||||
Ha $F$ feszítőfája $G\text{-nek}$, és $F$ súlya minimális,akkor $F$ minimális
|
||||
összsúlyú feszítőfa. Ha $G$ nem összefüggő,akkor feszítő erdői vannak.
|
||||
** Kruskal algoritmusa
|
||||
*** Az algoritmus
|
||||
Az éleket egyesével választjuk ki az éleket a következőek szerint. A legkisebb
|
||||
súlyú élekkel kezdjük. A további választásokkor azokat az élek
|
||||
választjuk,amelynek a legkisebb a súlya és nem alkot kört az eddig kiválasztott
|
||||
élekkel. Az eljárást addig folytatjuk,amíg találunk ilyen éleket, ha nincs
|
||||
akkor megállunk.
|
||||
|
||||
A Kruskal algoritmus egy ún. mohó algoritmus,mivel minden lépésében az éppen
|
||||
legjobbnak tűnő lehetőséget választja.
|
||||
*** Tétel
|
||||
A Kruskal algoritmus $G$ minimális súlyú feszítőerdőjét adja.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
Nyilvánvaló hogy az algoritmus végén a kiválasztott élek egy $F$ feszítőerdőt
|
||||
alkotnak.
|
||||
|
||||
Tegyük fel indirekten,hogy $F_0$ minimális súlyú feszítőerdő, és
|
||||
$s(F_0)<s(F)$. Ha több ilyen ellenpélda van,akkor válasszuk ki azt,amelyiknek a
|
||||
legtöbb közös éle van $F\text{-el}$.
|
||||
|
||||
Legyen $e_0\in E(F_0)$, de $e_0\notin E(F)$. Ha hozzávesszük $e_0\text{-t}$
|
||||
$F\text{-hez}$,akkor egy $C$ kört kapunk. Ha valamely $e\in E(C)-e_0$ élre
|
||||
$s(e)>s(e_0)$,akkor az algoritmus $e$ helyett $e_0\text{-t}$ választotta
|
||||
volna. Így $s(e)\leq s(e_0)$,minden $e\in E(C)\text{-re}$. Mivel $F_0-e_0$ két
|
||||
komponensből áll, kell lennie egy $e_1\in E(C)-{e_0}\subseteq E(F)$ élnek,amely
|
||||
két végpontja $F_0-e_0$ két különböző komponenséhez tartozik. Nyilvánvaló,hogy
|
||||
$F_1=(F_0-e_0)\cup{e_1}$ is feszítő fa, és tudjuk,hogy
|
||||
$s(e_1)\leq(e_0)$. $s(e_1)<(e_0)$ azonban nem lehet,hiszen akkor $F_0$ nem lenne
|
||||
minimális,tehát csak $s(e_1)=(e_0)$ lehet igaz. Ekkor viszont $F_1$ egy olyan
|
||||
ellenpélda lenne,melynek egyel több közös éle van,mint $F\text{-el}$,mint
|
||||
$F_0\text{-nak}$. Ez pedig ellentmond a feltevésnek.
|
||||
* Gráfok síkbarajzolhatósága $\protect \footnote{ \cite{kv} alapján.}$
|
||||
** Definíció
|
||||
Ha egy gráf lerajzolható a síkba úgy, hogy az élei ne messék egymást, akkor a
|
||||
gráf síkbarajzolható. A síkbarajzolt gráf a síkot tartományokra
|
||||
osztja. Hasonlóan definiáljuk a gömbre rajzolható gráfot.
|
||||
** Tétel
|
||||
Egy $G$ gráf pontosan akkor síkbarajzolható, gömbre rajzolható.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
Egy síkban levő gráf leképezhető egy gömbfelületre oly módon,
|
||||
hogy ezt a gömbfelületet valamelyik pontjával a síkra helyezzük, az érintkezési pon-
|
||||
tot tekintjük a gömbfelület déli pólusaként, és az északi pólusból, mint vetítési pont-
|
||||
ból oly egyenes vonalakat húzunk, amelyek a síkban levő gráf minden egyes pontját
|
||||
összekötik az északi pólussal. Ezeknek a vonalaknak egy-egy további metszéspontja
|
||||
van a gömbfelülettel, ezek szolgáltatják a kívánt vetítést. Ez az ún. sztereografikus
|
||||
projekció. Ez az eljárás megfordítható, ha az északi pólus nem pontja a gráfnak és
|
||||
nem halad át rajta él, így a gömbre rajzolt gráfok is leképezhetők a síkba.
|
||||
** Euler Tétel(Euler formula)
|
||||
Ha egy összefüggő síkbeli gráfnak $n$ csúcsa, $e$ éle és $t$ tartománya van
|
||||
(beleértve a külső, nem korlátos tartományt is), akkor eleget tesz az
|
||||
Euler-formulának: $n-e+t = 2$.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
Tekintsük a gráf egy $C$ körét és ennek egy $a$ élét. A $C$ kör síkot két
|
||||
tartományra bontja. Ezeket más élek további tartományokra bonthatják,de mindkét
|
||||
részben van egy-egy olyan tartomány,amely $a$ határa. Ha $a\text{-t}$ elhagyjuk
|
||||
a két tartomány egyesül,azaz a tartományok száma egyel csökken. Ezzel $n-e+t$
|
||||
értéke nem változik ($n-(e-1)+(t-1)=n-e+1+t-1=n-e+t$). Ezt az eljárást addig
|
||||
folytatjuk amíg van a gráfban kör. Ezzel egy feszítőfát kapunk. Ezzel viszont
|
||||
az állítás triviális,hiszen $t=1 \text{ és } e=n-1 \implies n-(n-1)+1=2
|
||||
\Rightarrow 2=2$.
|
||||
** Becslés az élek számára egyszerű gráfban
|
||||
Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf és pontjainak száma legalább 3, akkor az
|
||||
előbbi jelölésekkel $e\leq3n-6$.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
Vegyük $G$ egy tetszőleges síkbarajzolását, és a tartományokat határoló élek
|
||||
számát jelöljük $c_1,c_2,c_3,\dotsc_t\text{-el}$. Mivel a gráf egyszerű így
|
||||
minden $c_i\text{-re}$ teljesül,hogy $c_i\geq 3$. Nyilvánvaló, hogy egy él
|
||||
legfeljebb két tartomání határához tartozik,tehát ha összegezzük a határoló élek
|
||||
számát akkor legfeljebb egy élet kétszer számolunk. Így az alábbi egyenletet
|
||||
írhatjuk fel:
|
||||
\begin{align}
|
||||
3t\leq c_1 + c_2 + c_3 + \dots c_t &\leq 2e \\
|
||||
\text{Az Euler-formulát felhasználva} \\
|
||||
3(e-n+2)&\leq 2e \\
|
||||
e\leq 3(n-2)&= 3n+6
|
||||
\end{align}
|
||||
** Tétel
|
||||
Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf, minden körének a hossza legalább 4 és
|
||||
pontjainak száma legalább 4, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq 2n-4$.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
Az [[*Becslés az élek számára egyszerű gráfban][elző tételhez]] hasonlóan bizonyítható,de itt minden tartományt legalább 4 él
|
||||
határol. Így $4t\leq2e \implies e \leq 2n-4$
|
||||
** Definíció
|
||||
A $G$ és $H$ gráfok topologikusan izomorfak, ha a következő transzformációk
|
||||
ismételt alkalmazásával izomorf gráfokba traszformálhatóak:
|
||||
- Egy élet egy 2 fokú csúcs felvételével kettő részre bontunk
|
||||
- Egy 2 fokú csúcsra illeszkedő éleket egybeolvasztunk
|
||||
** Tétel
|
||||
Egy gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható, ha nem tartalmaz olyan részgráfot,
|
||||
amely topologikusan izomorf $K_{3,3}\text{-mal}$ vagy $K_5\text{-tel}$.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
Elvileg csak a könnyebbik irányban kell,de azt sem találtam $\mathcal{XD}$.
|
||||
** Síkbabarjzolható gráfok dualitása
|
||||
|
||||
* Euler- és Hamilton körök $\protect \footnote{ \cite{kv} alapján.}$
|
||||
** Definíció
|
||||
A $G$ gráf Euler-körének nevezünk egy zárt élsorozatot, ha az élsorozat pontosan egyszer tartalmazza $G$ összes élét. Ha az élsorozat nem feltétlenül zárt\footnote{tehát nem ugyanaz a kezdő- és végpontja}, akkor Euler-utat kapunk.
|
||||
** Tétel
|
||||
Egy összefüggő $G$ gráfban akkor és csak akkor van Euler-kör, ha $G$ minden pontjának fokszáma páros.
|
||||
Egy összefüggő $G$ gráfban akkor és csak akkor van Euler-kör, ha $G$ minden
|
||||
pontjának fokszáma páros.
|
||||
*** Bizonyítás
|
||||
** Tétel
|
||||
Egy összefüggő $G$ gráfban akkor és csak akkor van Euler-út, ha $G$ -ben a páratlan fokú pontok száma $0$ vagy $2$.
|
||||
** Definíció
|
||||
|
|
@ -134,17 +279,6 @@ Ha a G gráfban létezik $k$ olyan pont, amelyeket elhagyva a gráf több mint $
|
|||
Ha az n pontú G gráfban minden olyan $x, y \in V (G)$ pontpárra, amelyre ${x, y} \in E(G)$ teljesül az is, hogy $d(x) + d(y) \geq n$, akkor a gráfban van Hamilton-kör.
|
||||
** Tétel(Dirac)
|
||||
Ha egy n pontú G gráfban minden pont foka legalább $n/2$, akkor a gráfban létezik Hamilton–kör.
|
||||
* Gráfok síkbarajzolhatósága $\protect \footnote{ \cite{kv} alapján.}$
|
||||
** Definíció
|
||||
Ha egy gráf lerajzolható a síkba úgy, hogy az élei ne messék egymást, akkor a gráf síkbarajzolható. A síkbarajzolt gráf a síkot tartományokra osztja. Hasonlóan definiáljuk a gömbre rajzolható gráfot.
|
||||
** Tétel
|
||||
Euler formula: Ha egy összefüggő síkbeli gráfnak $n$ csúcsa, $e$ éle és $t$ tartománya van (beleértve a külső, nem korlátos tartományt is), akkor eleget tesz az Euler-formulának: $n-e+t = 2$.
|
||||
** Tétel
|
||||
Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf és pontjainak száma legalább 3, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq3n-6$.
|
||||
** Tétel
|
||||
Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf, minden körének a hossza legalább 4 és pontjainak száma legalább 4, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq2n-4$.
|
||||
** Tétel
|
||||
Egy gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, amely topologikusan izomorf $K_{3,3}$ -mal vagy $K_5$ -tel.
|
||||
* Gráfok színezése $\protect \footnote{ \cite{hj} alapján.}$
|
||||
** Definíció
|
||||
Legyen $G$ egy gráf és $k\geq1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel színezhető, ha a $G$ minden csúcsa kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$ bármely két szomszédos csúcsának a színe különböző. A $G$ kromatikus száma $k$, ha
|
||||
|
|
@ -361,4 +495,3 @@ $e\in E(G)$ élre és
|
|||
\bibentry{Szeszlér Dávid, }{(2019)}{Bevezetés a Számításelméletbe 2 - Ideiglenes egyetemi jegyzet a koronavírus járvány idején zajló távoktatáshoz, }{Budapest, }{\url{http://cs.bme.hu/bsz2/bsz2_jegyzet.pdf}}{}{}
|
||||
\end{thebibliography}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,6 +1,6 @@
|
|||
\usepackage{t1enc}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage[magyar,english]{babel}
|
||||
\usepackage[magyar]{babel}
|
||||
\usepackage{times}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
|
||||
|
|
@ -343,7 +343,7 @@ v {#5}%%others
|
|||
|
||||
|
||||
|
||||
\usepackage{tkz-berge}
|
||||
|
||||
|
||||
\usepackage{mathtools}
|
||||
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue