Updated main.tex for the exam
This commit is contained in:
parent
4eaf92f1dd
commit
0172ab72cb
1 changed files with 78 additions and 9 deletions
87
main.tex
87
main.tex
|
|
@ -48,7 +48,7 @@
|
|||
{#2}:~%%year
|
||||
{\textit{#3}}%%title
|
||||
{#4}%%others
|
||||
{#5}%%others
|
||||
v {#5}%%others
|
||||
{#6}%%others
|
||||
{#7}.%%others
|
||||
}
|
||||
|
|
@ -354,9 +354,9 @@
|
|||
\def\changemargin#1#2{\list{}{\rightmargin#2\leftmargin#1}\item[]}
|
||||
\let\endchangemargin=\endlist
|
||||
|
||||
\title{Bevezetés a számelméletbe 2 jegyzet}
|
||||
\title{Bevezetés a számelméletbe 2 Spellbook}
|
||||
\author{Toldi Balázs Ádám }
|
||||
\date{Február 2020}
|
||||
\date{Május 2020}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
|
|
@ -463,7 +463,7 @@ G körmentes, n csúcsú gráf. Ekkor legfeljebb n-1 éle van G-nek.
|
|||
Minden legalább 2 csúcsú fának van levele.
|
||||
\subsection{Feszítőfa}
|
||||
$G$-nek $F$ feszítőfája, ha $F$ fa és $F$ részgráfja G-nek,$F$ minden csúcsot tartalmaz.
|
||||
\section{Euler- és Hamilton körök}
|
||||
\section{Euler- és Hamilton körök\protect\footnote{\cite{kv} alapján.}}
|
||||
\subsection{Definíció}
|
||||
A $G$ gráf Euler-körének nevezünk egy zárt élsorozatot, ha az élsorozat pontosan egyszer tartalmazza $G$ összes élét. Ha az élsorozat nem feltétlenül zárt, akkor Euler-utat kapunk.
|
||||
\ttl
|
||||
|
|
@ -478,7 +478,7 @@ Ha a G gráfban létezik $k$ olyan pont, amelyeket elhagyva a gráf több mint $
|
|||
Ha az n pontú G gráfban minden olyan $x, y \in V (G)$ pontpárra, amelyre ${x, y} \in E(G)$ teljesül az is, hogy $d(x) + d(y) \geq n$, akkor a gráfban van Hamilton-kör.
|
||||
\subsection{Tétel(Dirac)}
|
||||
Ha egy n pontú G gráfban minden pont foka legalább $n/2$, akkor a gráfban létezik Hamilton–kör.
|
||||
\section{Gráfok síkbarajzolhatósága}
|
||||
\section{Gráfok síkbarajzolhatósága\protect\footnote{\cite{kv} alapján.}}
|
||||
\df
|
||||
Ha egy gráf lerajzolható a síkba úgy, hogy az élei ne messék egymást, akkor a gráf síkbarajzolható. A síkbarajzolt gráf a síkot tartományokra osztja. Hasonlóan definiáljuk a gömbre rajzolható gráfot.
|
||||
\ttl
|
||||
|
|
@ -489,7 +489,7 @@ Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf és pontjainak száma legalább 3, akk
|
|||
Ha $G$ egyszerű, síkbarajzolható gráf, minden körének a hossza legalább 4 és pontjainak száma legalább 4, akkor az előbbi jelölésekkel $e\leq2n-4$.
|
||||
\ttl
|
||||
Egy gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, amely topologikusan izomorf $K_{3,3}$ -mal vagy $K_5$-tel.
|
||||
\section{Gráfok színezése}
|
||||
\section{Gráfok színezése\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}}
|
||||
\df
|
||||
Legyen $G$ egy gráf és $k\geq1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel színezhető, ha a $G$ minden csúcsa kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$ bármely két szomszédos csúcsának a színe különböző. A $G$ kromatikus száma $k$, ha
|
||||
$G$ $k$ színnel színezhető, de $(k - 1)$-gyel már nem. $G$ kromatikus számának a jele:
|
||||
|
|
@ -561,7 +561,7 @@ Minden $n$ csúcsú $G$ gráfra fennállnak az alábbiak:
|
|||
\item $\nu(G)+\rho(G)=n$,ha G-nek nincs izolált pontja.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\section{Összefoglaló táblázat}
|
||||
\subsection{Összefoglaló táblázat}
|
||||
\begin{table}[th]
|
||||
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
|
||||
\hline
|
||||
|
|
@ -616,7 +616,7 @@ Ha a $G = (A, B; E)$ páros gráf d-reguláris, ahol $d \geq 1$ tetszőleges eg
|
|||
\subsection{Tutte tétele}
|
||||
A $G$ gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha a csúcsok minden
|
||||
$X\subseteq V(G)$ részhalmazára $c_p (G - X) \leq |X|$ teljesül.
|
||||
\section{Gráfok élszínezése}
|
||||
\section{Gráfok élszínezése\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}}
|
||||
\df
|
||||
Legyen $G$ egy gráf és $k \geq 1$ egész szám. A $G$ gráf $k$ színnel élszínezhető, ha a $G$ minden éle kiszínezhető $k$ adott (tetszőleges) színnel úgy, hogy $G$
|
||||
bármely két szomszédos (vagyis közös csúcsra illeszkedő) élének a színe különböző. A $G$ élkromatikus száma $k$, ha $G$ $k$ színnel élszínezhető, de $(k - 1)$-gyel már nem. G élkromatikus számának a jele: $\chi_e(G)$.
|
||||
|
|
@ -626,10 +626,79 @@ Minden (hurokélmentes) $G$ gráfra $\Delta(G) \leq\chi_e(G)$ teljesül.
|
|||
Minden G egyszerű gráfra $\chi_e(G) \leq \Delta(G) + 1$ teljesül.
|
||||
\subsection{Kőnig élszínezési tétele}
|
||||
Minden $G = (A, B; E)$ páros gráfra $\chi_e(G) = \Delta(G)$ teljesül.
|
||||
\section{A maximális folyam}
|
||||
\section{A maximális folyam\protect\footnote{\cite{hj} alapján.}}
|
||||
\df
|
||||
Legyen adott a $G = (V, E)$ irányított gráf, annak az $s,t\in V(G)$
|
||||
egymástól különböző csúcsai és a $c : E \rightarrow \mathbb{R}^+$ kapacitás függvény (ami tehát minden $e\in E$ élhez egy nemnegatív $c(e)$ kapacitás értéket rendel). Ekkor a $(G, s,t, c)$ négyest hálózatnak nevezzük.
|
||||
\df
|
||||
Egy adott $(G, s,t, c)$ hálózat esetén folyamnak nevezzük az $f : E \rightarrow \mathbb{R}^+$ függvényt, ha rá az alábbi feltételek teljesülnek:
|
||||
|
||||
(1) $0 \leq f (e) \leq c(e)$ minden $e \in E(G)$ él esetén;
|
||||
|
||||
(2)
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\sum_{e:v\rightarrow}^{} f(e)=\sum_{e:v\leftarrow}^{} f(e) \text{ minden } v\in V,v\ne s,t \text{ csúcs esetén}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\df
|
||||
A $(G, s,t, c)$ hálózatban adott $f$ folyam $m_f$ -fel jelölt értéke:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
m_f=\sum_{e:
|
||||
s\rightarrow}^{} f(e)=\sum_{e:s\leftarrow}^{} f(e)
|
||||
\end{equation}
|
||||
\df
|
||||
Legyen $f$ folyam a $(G, s,t, c)$ hálózatban. Ekkor az $f$-hez tartozó $H_f$ segédgráfot a következő képpen definiáljuk. $H_f$ irányított gráf, amelyre $V (H_f ) = V (G)$, vagyis $H_f$ csúcsainak halmaza azonos $G$ csúcshalmazával. Továbbá $H_f$ élhalmazába kétféle típusú él kerül:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Ha $e = (u, v)$ olyan éle $G$-nek, amelyre $f (e) < c(e)$, akkor $e = (u, v)$ a $H_f$ élhalmazába is bekerül; az ilyen élek neve előreél.
|
||||
\item Ha $e = (u, v)$ olyan éle $G$-nek, amelyre $f (e) > 0$, akkor $e$ megfordítása, az $e0 = (v, u)$ él kerül be $H_f$ élhalmazába; az ilyen élek neve pedig visszaél.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\df
|
||||
Legyen $f$ folyam a $(G, s,t, c)$ hálózatban. Ekkor a $H_f$ -beli, $s$-ből
|
||||
$t$-be vezető irányított utakat javítóútnak nevezzük $f$-re nézve.
|
||||
\al
|
||||
Ha $f$ folyam, akkor a javítóutas algoritmus $8$. sorában végrehajtott
|
||||
változtatások után is az marad és $m_f$ értéke $\delta$-val nő.
|
||||
\df
|
||||
A $(G, s,t, c)$ hálózatban $st$-vágásnak nevezzük az $X\subseteq V(G)$ csúcshalmazt, ha rá $s\in X$ és $t\notin X$ teljesül. Ha a szövegkörnyezetből $s$ és $t$ szerepe egyértelmű, akkor $st$-vágás helyett $X$-et röviden vágásnak is hívjuk.
|
||||
\al
|
||||
Ha $f$ tetszőleges folyam, $X$ pedig tetszőleges vágás a $(G, s,t, c)$ hálózatban, akkor
|
||||
$$m_f=\sum \{f(e)\text{: kilép } X\text{-ből}\}-\sum \{f(e)\text{: belép } X\text{-be}\} $$
|
||||
\df
|
||||
A $(G, s,t, c)$ hálózatban az $X$ $st$-vágás $c(X)$-szel jelölt kapacitása a
|
||||
$$c(X)=\sum \{f(e)\text{: kilép } X\text{-ből}\}$$
|
||||
összeg (ahol a fentieknek megfelelően $e = (u, v)$ az $X$-ből kilépő él, ha $u\in X$ és
|
||||
$v\notin X$). A vágás kapacitását a vágás értékének is szokták nevezni.
|
||||
\al
|
||||
Ha $f$ tetszőleges folyam, $X$ pedig tetszőleges vágás a $(G, s,t, c)$ hálózatban, akkor $m_f \leq c(X)$.
|
||||
\ttl
|
||||
Ha a $(G, s,t, c)$ hálózatban az $f$ folyamra nézve nincs javítóút, akkor
|
||||
$f$ maximális folyam (vagyis nincs $m_f$ -nél nagyobb értékű folyam).
|
||||
\ttl
|
||||
Ha a $G$ gráf $n$ csúcsú és $m$ élű és a $(G, s,t, c)$ hálózatban a maximális
|
||||
folyam keresésére szolgáló javítóutas algoritmus futása során $H_f$-ben mindig az
|
||||
egyik legrövidebb (vagyis legkevesebb élű) $s$-ből $t$-be vezető irányított utat választjuk
|
||||
javítóútnak, akkor az eljárás legföljebb $n\cdot m$ javító lépés után megáll.
|
||||
\subsection{Ford-Fulkerson Tétel}
|
||||
Bármely $(G,s,t,c)$ hálózatra
|
||||
$$\text{max}\{m_f:f\text{ folyam}\} = \text{min} \{ c(X):X\text{ }st\text{vágás}$$,
|
||||
vagyis a hálózatbeli maximális folyam értéke megegyezik az $st$-vágások kapacításának minimumával.
|
||||
\subsection{Egészértékűségi lemma}
|
||||
Tegyük fel, hogy a $(G, s,t, c)$ hálózatban minden $e\in E(G)$ élre $c(e)\in\mathbb{Z}$. Ekkor
|
||||
|
||||
(i) létezik olyan $f$ maximális folyam a hálózatban, amelyre $f (e)\in\mathbb{Z}$ minden
|
||||
$e\in E(G)$ élre és
|
||||
|
||||
(ii) ilyen egészértékű maximális folyam a javítóutas algoritmussal található.
|
||||
\clearpage
|
||||
\begin{thebibliography}{99}
|
||||
%\begin{itemize}
|
||||
%\item \href{https://www.interkonyv.hu/konyvek/?isbn=978-963-9664-19-7}{Katona Gyula – Recski András – Szabó Csaba: A számítástudomány alapjai}
|
||||
% \item \href{http://cs.bme.hu/bsz2/bsz2_jegyzet.pdf}{Bevezetés a Számításelméletbe 2 Ideiglenes egyetemi jegyzet}
|
||||
%\end{itemize}
|
||||
\bibitem[1]{kv}
|
||||
\bibentry{Katona Gyula – Recski András – Szabó Csaba, }{(2002)}{A számítástudomány alapjai, }{Budapest, }{Typotex Kiadó}{}{}
|
||||
|
||||
\bibitem[2]{hj}
|
||||
\bibentry{Szeszlér Dávid, }{(2019)}{Bevezetés a Számításelméletbe 2 - Ideiglenes egyetemi jegyzet a koronavírus járvány idején zajló távoktatáshoz, }{Budapest, }{\url{http://cs.bme.hu/bsz2/bsz2_jegyzet.pdf}}{}{}
|
||||
\end{thebibliography}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue